不定积分概念与性质.ppt

第五章 不定积分 本章的教学基本要求是： 1、理解原函数和不定积分的定义，掌握原函数和不定积分的性质； 2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微分法； 3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、 基本积分表 基本积分表 导数基本公式 ∫0dx=c C ’=0 （C为常数） ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c (xn)’= n xn-1 ∫1/xdx= ln|x|+ c (lnx) ’=1/x ∫axdx= ax/lna + c (ax)’= axlna ∫exdx= ex + c (ex) ’= ex ∫cosxdx=sinx + c (sinx) ’=cosx ∫sinxdx=-cosx + c (cosx) ’=-sinx ∫sec2xdx= tanx+c (tanx) ’=sec2x ∫csc2xdx= -cotx+c (cotx) ’=-csc2x ∫secx. tanxdx= secx+c ( secx ) ’=secx. tanx ∫cscx. cotxdx= -cscx+c (cscx) ’=- cscx. cotx ∫1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c (arcsinx) ’=1/(1-x2)1/2 ∫1/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) ’=1/(1+x2) 四、 不定积分的性质 求不定积分的方法 (1) 直接积分法 (2) 第一类换元法 (3) 第二类换元法 (4) 分部积分法 直接积分法 根据不定积分的性质和基本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式。 五、 小结 作业题: P183-184 1.(6) (15) (20) 2. 思考题: P183-184 1.(4) (13) (22) (29) 经 济 数 学 一、原函数与不定积分的概念 四、不定积分的性质 三、基本积分表 五、小结 第一节 不定积分的概念与性质 二、不定积分的几何意义 例 定义： ( primitive function ) 定义 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数, 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分(indefinite integral)的定义： 被积表达式 积分变量 定义 原函数 例1 求 解: 解: 例2 求 例3 某商品的边际成本为 , 求总成 解: 其中 为任意常数 本函数 . 显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横坐标 处,任一曲线的切线有相同的斜率. 0 x y 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 例4 求积分 解： 证： 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 例5 求积分 解： 例6 求积分 解： 例7 求积分 解： 例8 求积分 解： 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 化积分为