大学文科数学_张国楚_不定积分.ppt

第五章 微分的逆运算问题——不定积分 教学目标：本章目标是介绍不定积分的概念、性质和求不定积分的主要方法（换元积分法和分部积分法）。要求理解不定积分的概念和性质、掌握不定积分的基本积分公式、换元积分法和分部积分法。了解莱布尼茨的生平事蹟和他对数学发展所作的贡献。 1.1 原函数与不定积分的概念 1.3 不定积分的线性运算法则 2.1 换元积分法 2 第二换元积分法 ⑶丰硕的物理学成果 他的物理学成就也是非凡的。发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观并提出了自己的见解。在光学方面，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说他的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。 ⑷中西文化交流之倡导者 他对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中，他写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过。”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。”在这里，他不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图。 例4 求 解 为去掉被积函数中的根号，令 （在 的其它单调区间上也同样讨论），则 于是 我们用如下的方法还原变量x.因 ，有 .作如图所示的直角三角形.从而有 且 在 内存在反函数 于是 例5 求 解 令 （在 的其它单调区间 上也可同样讨论）. 于是 借助右图，求得 故有 例 6 解 求不定积分 令 完 分部积分公式 问题 思路 利用两个函数乘积的求导公式, 设函数 和 具有连续导数, 则 移项得 两边积分得 或 分部积分公式 求解关键 如何将所给积分 化为 分部积分公式 求解关键 如何将所给积分 化为 形式, 并使它更容易计算, 主要采用凑微分法, 例如, 利用分部积分法计算不定积分, 选择好 非常 、 关键, 选择不当将使积分的计算变得更加复杂, 例如, 分部积分公式 例如, 更复杂 下面将通过例题介绍分部积分法的应用. 完 2.2 分部积分法 定理 （分部积分法）若 与 可导且不定积分 存在，则 也存在，且有 (5.9) 公式(5.9)可将积分 转化为积分 ，称为分部积分公式，常简写为 (5.10) 有关分部积分公式的几点说明 1. 有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法; 2. 有些函数的积分在连续两次应用分部积分法后 出现了原来的积分式, 这时通过解方程可得到所求 不定积分; 3. 一般来说, 下列类型的被积函数常考虑应用分部 积分法, 其中 都是正整数. 等. 完 例1 求 解 令 则有 由(5.10)有 例2 求 解 把 看作u，dx看作dv，则 例3 求 解 通过以上各例可知，使用分部积分法的关键在 于选定被积表达式中的u和dv，使等式(5.10)右边的 不定积分容易求出. 例 4 求不定积分 解 令 完 例 4 求不定积分 解 令 例 5 求不定积分 解 令 小结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为 而将幂函数凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,对数函数或反三角函数消失. 例 6 求不定积分 解 完 例 7 求不定积分 解 令 则 于是 完 数学家启示录（5） 符号大师——莱布尼茨 莱布尼茨是德国著名数学家、物理学家和哲学家。他的研究兴趣极为广泛，涉及数学、力学、光学、机械学等40多个领域，且在每一领域都有杰出成就。主要表现如下： ⑴创始微积