微积分：不定积分的概念及性质.ppt

运算是一种对应法则。 设A是一个非空集合，对于A中的任意两个元素a，b，根据某种法则，使A中有唯一确定的元素c与它们对应，我们就说这个法则是A中的一种运算。 给了A的任意两个元素a和b，通过所给的运算，可以得到一个结果c。 反过来，如果已知元素c，以及元素a，b中的一个，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的逆运算。 如：加法与减法，乘法与除法，指数与对数。 微分与积分也互为逆运算。 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 四、 基本积分表 四、 不定积分的性质 五、 小结 * * 这些曲线的共同特征是：横坐标相同的点斜率相同。 一、原函数与不定积分的概念 四、不定积分的性质 三、基本积分表 五、小结 思考题 二、不定积分的几何意义 第二十一节 不定积分的概念与性质 逆运算 ？运算 求导 运算与逆运算 幂 开方 例 定义： ( primitive function ) 定义 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分(indefinite integral)的定义： 被积表达式 积分变量 定义 原函数 函数的全体原函数等于它的某个原函数 加上一个任意常数！ 求和：sum 4. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分。 5. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函数，或者其微分等于被积表达式的所有函数,因此决不能漏写积分常数C. 2. 求已知函数的全体原函数或不定积分的运算称为积分运算。 3. 已知原函数求导函数,用微分运算；已知导函数 求原函数，用积分运算。微分和积分是互逆的运算。 1. 直接函数和反函数是一对概念；原函数和 导函数是一对概念，不可混淆。 例1 求 解 解 例2 求 例3 某商品的边际成本为 , 求总成 解 其中 为任意常数 本函数 . 显然，求不定积分得到一积分曲线族, 横坐标 处,任一曲线的切线有相同的斜率. 0 x y 在同一 微分(求导)运算与求不定积分的运算是互逆的. 三、 不定积分的性质 例 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 例4 求积分 解 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 例5 求积分 解 称为定积分的线性性质。 * 练习 求积分 解 不能直接利用积分公式，需先变形 基本积分公式 例6 求积分 解 例7 求积分 解 练习 求积分 解: 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 化积分为代数和的积分 * 练习 求积分 解: 例9 求积分 解: 解 所求曲线方程为 基本积分表（1）～（13） 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 课后练习题： 是的原函数. 是在区间内的原函数. 如果在区间内， 可导函数的 即， 都有 或， 那么函数就称为 导函数为， 或在区间内原函数. 如果函数在区间内连续， 那么在区间内存在可导函数， 使，都有. 都是的原函数. 在区间内， 函数的带有任意 常数项的原函数 称为在区间内的 不定积分，记为. 函数的原函数的图形称为的积分曲线. （是常数， 例10 已知一曲线在点处的切线斜率为，且此曲线与轴的交点为，求此曲线的方程. 但在处不可微，