同济高等数学第四章第一节课件.ppt

§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 问题: 例3. 质点在距地面 先求 二、基本积分表 三、不定积分的性质 内容小结 思考与练习 2. 若 3. 若 4. 已知 作业 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 上页 下页 铃 结束 返回 首页 微分法: 积分法: 互逆运算 原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x?I, 都有 F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 原函数举例 所以sin x是cos x的原函数. 因为(sin x)??cos x , 提问： 下页 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x?I 都有 F ?(x)?f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)?C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 下页 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 ?(x)?F(x)?C (C为某个常数). 证: 1) 又知 故 即 属于函数族 即 不定积分中各部分的名称： ? ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. 不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 下页 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)?C就是f(x)的不定积分, 即 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 不定积分的概念 下页 C 称为积分常数 不可丢 ! 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 下页 例2 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 下页 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y?f(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为 y??f ?(x)?2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 故必有某个常数C使f(x)?x2?C, 即曲线方程为y?x2?C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2?1?C, C?1. 于是所求曲线方程为y?x2?1. 因为 下页 函数f(x)的积分曲线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率. 积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 下页 2x的积分曲线 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 微分与积分的关系 从不定积分的定义可知 又由于F(x)是F ?(x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 首页 下页 例5 例4 例6 首页 积分表 这是因为, ? f(x)?g(x). 性质1 下页 三、不定积分的性质 性质1 性质2 例7 例8 下页 积分表 例10 三、不定积分的性质