2013年考研数学各章节.pptVIP

* * 第八讲 多元函数微分学 一、多元函数的极限及连续性 二、偏导数 三、全微分 四、多元函数的极值 1. 二元函数的极限 一、二元函数的极限与连续性 高阶偏导数 三、全微分 1、复合函数微分法 2、隐函数的微分法 定义 1 设二元函数，以任意方式趋向点时，总趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数当 时的极限，记为 或. 同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的四则运算法则． 2. 二元函数的连续性 定义 2 设函数在点的某邻域内有定义，如果 则称二元函数在点处连续．如果在区域D内的每一点都连续,则称在区域D上连续． 若令，则式 , 可写成. 即 　 . 二、偏导数 定义 设函数 在点的某一邻域内有 定义，当 固定在 而 在 处有改变量 时相应地函数有改变量如果极限 存在，则称此极限为函数在点处对x的偏 导数，记为 . 类似地，当 固定在 ，而 在 处有改变量 ，如果极限存在，则称此极限为函数在点（x0，y的偏导数，记为 . 如果函数在区域 内每一点 处对 的偏导数都存在，且这个偏导数仍是 的函数，称为函数对自变量 的偏导数. 类似地，可以定义函数对自变量 的偏导数，记为 . 偏导数的求法： 从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看成是另一个自变量的一元函数的导数．因此，求二元函数的偏导数,只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行一元函数求导即可． 例1 求在点(1，2)处的偏导数． 解 偏导数 ，, 在(1，2)处的偏导数就是偏导数在(1，2)处的值，所以 ， 例 2 设=，求． 解 如果先求偏导数，运算是比较繁杂的，但是若先把函数中的 固定在，则有 ，从而 = ，． 例 3 求的偏导数． 解 把 和 暂时看作常量对 求导，得=．把z和x暂时看作常量对 求导，得．把x和 暂时看作常量对 z求导，得． 对于二元函数的两个偏导数 ，，一般说来，它们仍然是自变量 的函数．如果 ，的偏导数存在，可以继续对 或 求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数的二阶偏数．这 样的二阶偏导数共有四个，分别表示为 , , , . 定理 若的两个二阶混合偏导数在点连续，则在该点有 . 定义 设有二元函数，如果在点 处，函数的全增量可以表示为关于，的线性函数与一个比高阶的无穷小之和，即 . 其中，与，无关，只与有关，是当时比高阶的无穷小，则称二元函数在点处可微，并称是在点 处的全微分，记作 . 定理 1 若在点处可微，则它在该点一定连续． 定理 3 (可微的充分条件) 若在点处的两个偏导数连续，则在该点一定可微． 全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函数．例如若三元函数具有连续偏导数，则其全微分的表达式为 . 例 1 求全微分． 解 因为 所以 定理 1 设在点处有偏导数，在相应有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且 , . 几种类型复合函数求导公式: 设而，， (见下图)在有偏导数， 在相应的处有连续偏导数，则复合函数在处有偏导数，且 　, 　. 设，，在点 处可导， 在相应点处有连续偏导数，则复合函数(见下图)在点 处可导，且 , 此公式的左端也称为全导数． （3）设在点处有偏导数，在相应点处有连续偏导数，则复合函数(见下图)在点处有偏导数，且 . 例 2 设，求 ，． 解 令，，则．所以 , . . 解 见右图 例 3 设. 例 4 设，求 ，． 解 . 上式中的，分别表示对第一、第二个中间变量，即 和 的偏导数． 定理2 （隐函数存在定理） 设函数在点的某个邻域内连续且有连续的偏导数，，，又，，则存在惟一的函数在的某个邻域内是单值连续的，并满足方程，即 . 而且，同时在此邻域内有连续的偏导数． 例1 设确定了 是 的函数 ，且，存在及，试求 ． 解 因为,所以，此式两端对x求导得 ,即 . 所以 ．此式称为一元隐函数的求导公式． 例2.设函数二元函数为方程所确定的隐函数，且有连续的偏导数，，，试求 及 ． 解 因为，所以此式两端对x求导得 , 所以 . 同理可得 . 例 3 求由方程所确定的隐函数的两个偏导数，． 解一 因为确定了函数，所以方程两边对x求导得 , 所以