第三章 误差的基本性质与处理(09级).ppt

第3章 误差的基本性质与处理  * 第一节 随机误差 3.1.1 定义与性质 随机误差定义： “测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。” 随机误差概念----不可预定方式变化的误差（同随机变量） 举例：对一电阻进行n=100次重复性测量 表 3.1 按大小排列的重复性测量结果 0.01 1 10.05 0.02 2 10.04 0.05 5 10.03 0.10 10 10.02 0.16 16 10.01 0.22 22 10.00 0.18 18 9.99 0.14 14 9.98 0.06 6 9.97 0.04 4 9.96 0.02 2 9.95 相同测值出现的概率Pi=mi/n 相同测值出现次数mi 测量值xi（Ω） P(x) μ x 0 随机误差性质：服从正态分布，具有以下4个特性： 对称性——绝对值相等的正误差与负 误差出现的次数相等； 单峰性——绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多； 有界性——绝对值很大的误差出现的 机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性——当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零。 3.1.2 随机误差的统计处理 随机误差与随机变量的类同关系 1.数学期望 设x1，x2，…，xi，…为离散型随机变量X的可能取值，相应 概率为p1，p2，…，pi，…其级数和为 若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X) x1p1+x2p2+…+xipi+…= 在统计学中， 期望与均值是同一概念 （2.1） 算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律 可知，若测量次数无限增加，则算术平均值 必然趋于实际值。 2.方差、标准差 方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望， 记为D（X），即 例：两批电池的测量数据 · · · · · · · · · n X 0 X xi · · · · n X 0 X xi · · · · · · · 误差离散性小 误差离散性大 测量中的随机误差也用方差 来定量表征： 式中 是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差， 记作 。将剩余误差平方后求和平均，扩大了 离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。 希腊字母（读音为“sigma”）表示标准差或均方差 希腊字母 的小写字母，读音为“Upsailen（玉普西隆）”。不是英文小写字母v 标准差 方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机 误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记 作 （2.2） 应当指出，剩余误差νi应包含系统误差ε和随机误差δi，因这里 只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即 i 正态分布 在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差 的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数 为正态分布 当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 和标准差σ，该 正态分布的曲线形状则基本确定。 P(x) μ x 0 给出了 时，三条不同标准差的正态分布曲线： 。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据 占优势大，即测量精度高。 x Φφ(σ) 0 σ1 σ2 σ3 σ1σ2σ3 本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中 （2.3） 式中k为置信因子，a为所设的区间宽度的一半。 K=1时， K=2时， K=3时， 图2.7 正态分布下不同区间出现的概率 其平均误差为： θ ≈ 4/5σ 或然误差为： ρ ≈2/3σ σ为正态分布曲线上拐点的横坐标， θ为曲线右半部面积重心的横坐标， ρ值为曲线右半部面积平分线的纵坐标。 3.1.3 有限次测值的算术平均值和标准差 上述正态分布是（n→∞）下求得的，但在实际测量中只能进行 有限次测量 1.有限次测量的算术平均值 对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量 值的算术平均值与被测量的真值最为接近。 设被测量的真值为μ，其等精度测量值为x1，x2，…，xn，则 其算术平均值为 （2.4） 由于 的数学期望为μ，故算术平均值就是真值μ的无偏估计值。 实际测量中，通常以算术平均值代替真值。 2.有限次测量数据的标准差—贝塞尔公式 上述的标准差是在n→∞的条件下导出的，而实际测量只能做到 有限次。当n为有限次时，可以导出这时标准差为 （2.5） 这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故 被称为标 准差的估值，也称实验标准差。 3.平均值的标准差 在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组 进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值， 由于随机误差