高数第四章 不定积分.ppt

第四章 一、 原函数与不定积分的概念 例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 二、 基本积分表 (P186) 例2 求 例3 求 例5 求 思考与练习 2 若 3 求下列积分: 第二节 一、第一类换元法 例6 求 例7 例8 求 例9 求 例10 常用的几种配元形式: 例11 例12 求 例14 求 思考与练习 二、第二类换元法 例15 求 例16 例18 思考与练习 第三节 解题技巧: 例21 求 例22 求 例23 求 说明: 例24 已知 第四节 一、 有理函数的积分 例25 求 例26 求 二 、可化为有理函数的积分 例27 求 解 令 , 则 原式 = 解 令 则 原式 令 解 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 = 说明 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 的一个原函数是 求 解 说明 此题若先求出 再求积分反而复杂. 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分 有理函数的积分 本节内容: 第四章 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 例如 将真分式 分解为部分分式 : 用拼凑法 解 原式 思考 如何求 提示 变形方法同例25, 并利用 P209 例9 . 解 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. * 目录 上页 下页 返回 结束 * 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 定理 2 原函数都在函数簇 ( C 为任意常数 ) 内 . 定义 2 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 记作 若 则 ( C 为任意常数 ) 例如 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 从不定积分定义可知: 或 或 三、不定积分的性质 解 原式 = 解 原式 = 例4 求 解 原式 = 解 原式 = 1 若 提示 是 的原函数 , 则 提示 已知 提示: 二、第二类换元法 一、第一类换元法 换元积分法 第四章 定理1 则有换元 公式 即 (也称 配元法, 凑微分法 ) 令 则 故 原式 注 时 注意换回原变量 解 当 解 令 则 想到公式 求 想到 解 (直接配元) 解 类似 解 ∴ 原式 求 万能凑幂法 解 求 原式 解 例13 解 原式 求 原式 解 原式 1. 下列各题求积方法有何不同? 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 定理2 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式 设 解 则 ∴ 原式 令 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 7) 分母中因子次数较高时, 可试用 令 倒代换 解 (P206 公式 (20) ) 例17 解 (P206 公式 (23) ) 求 原式 求 解 (P206 公式 (22) ) 例19 (P206 公式 (22) ) 求 原式 求 解 原式 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例20 求 解 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数