2014创新设计高中数学〔苏教版〕第十五章第6讲不等式的证明.pptVIP

抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第6讲　不等式的证明 考点梳理 ≥ a＝b ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a1＝a2＝…＝an a－b0 (2)分析法 从所要证明的结论入手向__________________反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式_____的假设； 第二步：从___________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立； 使它成立的充分条件 相反 条件和假设 (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地___________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立． 放大或缩小 一个考情解读 证明不等式、最值问题是江苏高考考查的重点，特别要关注证明不等式的几种证明方法；也应注意函数与数形结合的证明问题、最值问题、恒成立问题的处理方式． 注意方程、函数、不等式三者之间的联系，恒成立求最值，构造函数利用分离变量，再利用均值不等式、配方法、导数单调性等求最值即可． 【助学·微博】 考点自测 考向一　分析法证明不等式 [方法总结] 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． (1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)． 证明　∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1， ∴要证原不等式成立， 即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥ 8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]， 也就是证 [(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥ 8(b＋c)(c＋a)(a＋b)． ① 【训练1】 已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证： 考向二　用综合法证明不等式 [方法总结] 证不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧． 【例3】 设x＋2y＋3z＝3，求4x2＋5y2＋6z2的最小值． 考向三　利用柯西不等式求最值 [方法总结] 柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 解　由柯西不等式，得 (a＋2b＋3c)2≤(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)＝142， 当且仅当a＝2b＝3c时等号成立， 所以a＋2b＋3c≤14，即a＋2b＋3c的最大值为14. 【训练3】 (2012·盐城市期末考试)已知a，b，c为正数，且a2＋b2＋c2＝14，试求a＋2b＋3c的最大值． 利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件． 规范解答31　利用算术—几何平均不等式求最值 　[点评] 在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误； 二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错． 高考经典题组训练 2．(2009·江苏卷)对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有实数根的有序数组(a，b)的组数，其中a，b∈{1,2，…，n}(a和b可以相等)；对于随机选取的a，b∈{1,2，…，n}(a和b可以相等)，记Pn为关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有实数根的概率． (1)求Tn2及Pn2； (1)解　因为方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，所以Δ＝4a2－4b≥0，即b≤a2. (ⅰ)n≤a≤n2时，有n2≤a2，又b∈{1,2，…，n2}，故总有b≤a2，此时，a有n2－n＋1种取法，b有n2种取法，所以共有(n2－n＋1)n2组有序数组(a，b)满足条件； 抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考