高数换元积分法的课件.ppt

基本思路 一、第一类换元法 例2. 求 例3. 求 例5. 求 常用的几种配元形式: 例12 求 二、第二类换元法 定理2 . 设 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例1. 求 作 业 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例 求 解 令 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 后讲 令 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 基本积分表 * 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分表 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 复习§4-1 不定积分的概念与性质 二、第二类换元法 一、第一类换元法 §4-2 换元积分法 第二类换元法 第一类换元法 设 可导, 则有 复合函数求导 定理1. 则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 注： ① 定理说明：若已知 则 因此该定理的意义就在于把 中的 换成另一个 的可微函数 后，式子仍成立 ——又称为积分的形式不变性 故扩展了基本积分表的适用范围 ②由定理可见，虽然 是一整体记号，但可把 视为自变量微分 ——凑微分 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 注：形式不一样，实质差常数 解: 令 则 联想公式 例2-例4类型相同 想到 解: (直接配元) 例4 解 注：拆项是常用的技巧 解: 类似 例5-例6类型相同 例6 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 解（二） 类似地可推出 解（三） 例7 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例8 求 解 积化和差 例9 求 原式 解 分母有理化 例10 求 凑微分 配方 解 例11 设 求 . 令 解: 原式 第一类换元法常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 凑幂法 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证: 令 则 则有换元公式 解: 令 则 ∴ 原式 取单调区间 解: 令 则 ∴ 原式 取单调区间 解: 令 则 ∴ 原式 取单调区间 令 于是 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 注：所作代换的单调性。对三角代换而言， 取单调区间即可。 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例 求 （三角代换很繁琐， 采用根式代换） 解 令 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 求 解 令 * * *