不定积分与定积分_复习.ppt

有理函数的积分 方法 将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 使用待定系数法确定未知常数 三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令 （万能置换公式） 简单无理函数的积分 类型 解决方法 作代换去掉根号. 指数有理式和指数无理式的积分 定积分应用 平面图形面积 旋转体体积 旋转体的侧面积 （一）平面图形面积 （二）旋转体体积 （三）旋转体的侧面积 （03年高数四） （05年高数三） （98年）  例 （07年高数二） 第三章 积分 复习课 定义 1、定积分的概念与性质 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 线性性质 性质2 单调性质 推论： 推论： 性质3 绝对值不等式 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 性质4 区间可加性 性质5 积分中值定理与均值公式 积分均值公式 2、不定积分与定积分的计算 定义： 注意： 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 基本积分表 ? 补充 凑微分法 第二类换元法 （一）三角代换：目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 （二）为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 （三）积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. （四）当分母的阶较高时, 可采用倒代换 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） （五） 定积分应用换元公式时应注意: （1） （2） 分部积分公式 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 . 注意：循环形式的出现 （对同一类函数使用两次分部积分公式） 设函数在上有界， 记， 如果不论对 在中任意插入 若干个分点 把区间分成个小区间， 各小区间的长度依次为 ，， 在各小区间上任取 一点（）， 作乘积 怎样的分法， 也不论在小区间上 点怎样的取法， 只要当时， 和总趋于 确定的极限， 我们称这个极限为函数 在区间上的定积分， 积分值仅与被积函数及积分区间有关， （2）定义中区间的分法和的取法是任意的. （3）当函数在区间上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称在区间上可积. . (为常数). 则. 如果在区间上， 则 . 如果在区间上， 设及分别是函数 在区间上的最大值及最小值， 则 . . . 如果函数在闭区间上连续，在 上可积且不变号，则在积分区间上至少存在 一个点 ，使 如果函数在闭区间上连续， 则在积分区间上至少存在一个点 ， 使. 在区间内， 函数的带有任意 常数项的原函数 称为在区间内的 不定积分，记为. 如果在区间内， 可导函数的 即， 都有 或， 那么函数就称为 导函数为， 或在区间内原函数. 求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入然后相减就行了. 用把变量换成新变量时，积分限也 相应的改变. 命题 当在上连续，且有 ①为偶函数，则 ； ②为奇函数，则. 其中都是常数. 其中都是常数.