微积分2第六章定积分.ppt

§6.1 不定积分的概念和性质 4.不定积分的性质 一、基本积分表 基本思路 一、第一类换元法 常用的几种配元形式: 例6. 求 例7. 求 例8. 求 例11. 求 例12. 求 解法 2 例14 . 求 例14 . 求 例17. 求 例18 求 例19. 求 思考与练习 2. 求 二、第二类换元法 设 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 例6. 求 2. 常用基本积分公式的补充 思考与练习 2. 已知 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令 令 令 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 例9. 求 解: 例10. 求 解: 原式 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 求 解: 两边求导, 得 则 (代回原变量) 分部积分公式 设函数u?u(x)及v?v(x)具有连续导数. 那么, (uv)??u?v?uv?, 移项得 uv??(uv)??u?v. 对这个等式两边求不定积分, 得 分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. §6.4 分部积分法 反对幂指三 例1 ?x sin x?cos x?C . 例2 ?ex(x2?2x?2 )?C. 分部积分过程： 解 于是 例3 令x?t2, 则dx?2tdt. 反对幂指三 当被积函数为幂函数与三角函数之积时,如: 要用分部积分公式. 并选幂函数为 即 说明 对某些不定积分来说,有时需用连续用若干次分部积分公式. 当被积函数为幂函数与指数函数之积时,如: 要用分部积分公式. 并选幂函数为 即 解: 类似 解法1 同样可证 或 例13. 求 解: 原式 = 解: 被积函数中含有弦函数的偶次幂,利用半角公式降次. 例15 解 被积函数中含有弦函数的奇次幂,拿出一次凑微分. 例16 解 例17. 求 解: ∴原式 = 解法1 解法2 两法结果一样 解: 原式= 分析: 1. 下列各题求积方法有何不同? 提示: 法1 法2 法3 3. 求 法1 法2 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换元积分法 . 难求 是单调可导函数 , 且 具有原函数 则 的一个原函数。即有换元积分公式 定理2 证明 的原函数 第二换元法的步骤 对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法, 引入适当的代换,以去掉根号. 说明 1.根式代换 例1 求 解 令 例2 求 解 令 2.三角代换 解: 令 则 ∴ 原式 解: 令 则 ∴ 原式 解: 令 则 ∴ 原式 令 于是 解: 令 则 ∴ 原式 又解: 原式 = 2.倒代换 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 例7. 求 解一: 用三角代换。令 （略） 解二: 用倒代换。令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . 例8 求 解法1 令 令 解法2 解法3 令 解法4 * * 第六章 不定积分 §6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法 1、原函数 原函数举例 所以sin x是cos x的原函数. 因为(sin x)??cos x , 提问： 定义 设f(x)是定义在某一个区间上的函数，如果存在一个函数F (x)，使得对已知区间上任意一点x都有 F ?(x)?f(x)或d F (x)?f(x) dx 则称函数F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。 cos x还有其它原函数吗？ 因为(sin x+C)??cos x , 所以sin x+C都是cos x的原函数. 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在 可导函数F(x), 使对任一x?I 都有 F ?(x)?f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 原函数族定理 如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 （1）对任意常数C， F(x)?C都是f(x)的原函数； （2） 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即：如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 ?(x)?F(x)?C (C为某个常数). 不定积分中各部分的名称： ? ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为