高数第四章不定积分的概念与性质.ppt

第四章 §4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、基本积分公式 四、小结 一、原函数与不定积分的概念 问题: 定理 2. 例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 例4. 质点在距地面 先求 四、 基本积分公式 例3. 求 例5. 求 例6. 求 例8. 求 练习. 求下列不定积分 内容小结 思考与练习 3. 若 4. 若 5. 求下列积分: 6. 求不定积分 7. 已知 作业 1. 证明 2. 若 提示: 提示: 是 的原函数 , 则 提示: 已知 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意 其原函数为 提示: 解： * 微分法: 积分法: 互逆运算 不定积分 (INDEFINITE INTEGRALS) 原函数 primitive function (antiderivative) 积分号 sign of integration 被积函数 integrand 积分变量 integral variable 积分曲线 integral curve 积分表 table of indefinite integrals 不定积分的概念与性质 例 定义： 不定积分的概念与性质 Q1. 给定一个函数,它的原函数是否存在 ? 答案是否定的！ 但我们有以下定理: 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 例 （ 为任意常数） 所以，sinx与sinx+C都是cosx的原函数。 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函 数， 则 （ 为任意常数） 不定积分的概念与性质 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 故 即 属于函数族 即 不定积分的概念与性质 不定积分的定义： 注：若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数,则 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 不定积分的概念与性质 不定积分的几何意义 的原函数F(x)的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . y=F(x) 称为积分曲线族。 不定积分的概念与性质 例 求函数 例 求函数 解： 因为 解： 当x0时, 当x0时, 不定积分的概念与性质 例 求 解 解 例 求 不定积分的概念与性质 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 二、 不定积分的性质 例 例 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 不定积分的概念与性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 不定积分的概念与性质 例 求积分 解 不定积分的概念与性质 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 不定积分的概念与性质 基本积分表 ? (C是常数); 说明： 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 例 求积分 解 根据积分公式（2） 不定积分的概念与性质 例 求积分 例 求积分 例 求积分 例 求积分 例 求积分 例 求积分 不定积分的概念与性质 解: 原式 = 例4. 求 解: 原式= 解: 原式 = 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式 = 解: 原式 = 例7 求积分 解 不定积分的概念与性质 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 不定积分的概念与性质 答案: 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分表 (见P 188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 * * 是的原函数. 是在区间内的原函数. 如果在区间内， 可导函数的 即， 都有 或， 那么函数就称为 导函数为， 或在区间内原函数.