2013高等数学 C5定积分与不定积分.ppt

高 等 数 学 苏州大学出版社 2013 主要内容 第五章 §4.1 定积分的概念与基本性质 一、定积分的概念 二、定积分的概念 三、定积分的基本性质 一、定积分概念 解决步骤 : 3) 求和: 2. 变速直线运动的路程 3) 求和: 二、定积分定义 ( P147) 可积的充分条件: 三、定积分的基本性质: 7. 积分中值定理 说明: 例2. 试证: §4.2 原函数与微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、原函数与不定积分 三、微积分基本定理 一、积分上限的函数及其导数 说明: 例1. 求 二、原函数与不定积分 问题: 注意: 定义 2. 不定积分的几何意义: 例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 例4. 质点在距地面 先求 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 例5. 计算 例7. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , §4.3 积分法 一、基本积分表 二、第一类换元法 三、第二换元法 四、分部积分法 一、 基本积分表 (P155) 例1. 求下列不定积分: 例2. 求 二、第一类换元法 常用的几种配元形式: 解法 2 例2. 计算: 三、第二类换元法 常用基本积分公式的补充 (P166) 例4. 利用常用积分公式求下列不定积分: 说明: 例5. 计算下列定积分: 例6. 例7. 若 思考题. 计算下列定积分 (P168): 三、分部积分法 例8. 计算下列不定积分: 例9. 计算下列定积分: 例10. 证明 说明: 设 例12. 证明 §4.4 有理函数的积分 一、有理函数的积分举例 二、三角函数有理式的积分举例 一、 有理函数的积分举例 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 混合法 四种典型部分分式的积分: 例2. 求下列不定积分: 二 、可化为有理函数的积分举例 例3. 求 例4. 求 2. 简单无理函数的积分 例5. 利用根式代换求下列积分: 注意： §4.5 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 一、无穷限的广义积分 定义1. 设 例1. 计算广义积分 例2. 证明第一类 p 积分 例3. 计算广义积分 二、无界函数的广义积分 定义2. 设 说明: 注意: 若瑕点 例4. 计算广义积分 例6. 证明广义积分 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 (3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为 §4.6 定积分的应用 一、微元法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长 一、微元法 二、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 三、立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例9. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例10. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例11. 计算由曲面 例12. 求曲线 四、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例13. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例14. 求连续曲线段 例15. 计算摆线 例16. 求阿基米德螺线 作业 作业 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 考虑已知平行截面面积函数的立体 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 定义: