2弹性力学泛函变分等基本知识点.pptVIP

* * * * * * * 有限元法预备知识 * 实例：在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要一定的时间T。 ? 泛函式常用积分形式表示 变分极值条件 [变分及其特性] 2.3 变分法基本知识 * 有限元法预备知识 * 变分性质 变分性质 变分极值条件 由于 的任意性 欧拉方程 [变分及其特性] 2.3 变分法基本知识 * 有限元法预备知识 * 欧拉方程 [变分及其特性] 2.3 变分法基本知识 * 有限元法预备知识 * 最速降线 [变分及其特性] 2.3 变分法基本知识 * 有限元法预备知识 * [李兹法-变分法的求解] （1）选取未知函数 u 的近似解； 注意：使 u 满足强制边界条件。 （2）将函数 u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ （3）对泛函 ? ( u) 求变分，并令等于零； ~ 2.4李兹法运用 * 有限元法预备知识 * 由于 是任意的， 故上式成立时，必有： 将上式表示成矩阵形式，有： [李兹法-变分法的求解] 2.4李兹法运用 * 有限元法预备知识 * 其中： 得到与待定参数 a 的个数相等的方程组，由此可求得待定参数a 。 —— 里兹（Ritz）法 实例 [李兹法-变分法的求解] 2.4李兹法运用 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 有限元法预备知识 有限元法预备知识 * 有限元法预备知识 * 2 有限元法预备知识 曹国华 2.1弹性力学基本知识 2.2泛函基本知识 2.3变分法基本知识 2.4李兹法运用 * 有限元法预备知识 * 2.1 弹性力学基本知识 位移 和 应变 和 应力 和 基本力学量： * 有限元法预备知识 * [ 外力 ] 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 面力，是分布于物体表面的力 如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。 单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力 如重力、磁力、惯性力等。 单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。 2.1 弹性力学基本知识 * 有限元法预备知识 * [ 应力的概念 ] 弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素。 PA=dx,PB=dy,PC=dz 正应力 剪应力 每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行 2.1 弹性力学基本知识 * 有限元法预备知识 * 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。 正应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。 剪应力 [ 应力的概念 ] 2.1 弹性力学基本知识 * 有限元法预备知识 * 应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。 因此剪应力记号的两个角码可以对调。即： [ 应力的概念 ] 2.1 弹性力学基本知识 * 有限元法预备知识 * 可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示： [ 应力的概念 ] 2.1 弹性力学基本知识 * 有限元法预备知识 * [ 位 移 ] 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x