3.4连续谱本征函数的“归1化”.pptVIP

量子力学教程(第二版) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 量子力学教程 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的 一维粒子的动量本征值为 的本征函数(平面波)为 可以取 中连续变化的一切实数值. 不难看出，只要 则 在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化的; 角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条件而定. 例如 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有限区域不为零. 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态. 是不能归一化的. 在上例中, 连续谱的本征函数是不能归一化的. 可以引用数学上的Dirac的 为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”, 我们 函数. 3.4.2 函数 函数的定义 由Fourier积分公式, 对于分段连续函数 (b) 函数也可表成 比较式(a)与(b), 领域连续的任何函数 对于在 (a) 等价地表示为: 平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 中运动 (最 后才让 ). 动量本征态为 在周期条件下 3.4.3 箱归一化 此时, 为了保证动量算符 为厄米算符,就要 求波函数满足周期性边条件. 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理. 因此, 若取动量本征态为 则 这样,就用 函数的形式把平面波的“归一化” 表示出来了. 由周期条件, 得 (粒子波长 即 ). 即 或 所以 或 可以看出 动量的可能取值 就是不连续的. 只要 此时, 与 相应的动量本征态取为 利用正交归一化条件 利用这一组正交归一完备的函数 ,可以构成如下 函数: 现在让 即动量的可能取值趋于连续变化. 于是 此时, 可以把 , 而 或 在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的 . 在计算的最后结果才让 . 正交完备的归一化波函数为 结论 则 函数可如下构成: 三维情况 上式表明, 相空间一个体积元 相当于有一个量子态. 而 最后, 当 时 将连续变化 设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符 它们的共同本征函数记为 , 是 一组量子数的笼统记号. 3.4.4 力学量完全集 定义 设给定 之后就能够确定体系的一个可能状态， 则称 构成体系的一组力学量完全集. 表示在 下测量 得到 值的概率. 这是波函数统计诠释的一般表述. 按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 展开 (这里假定 的本征值是离散的) 利用 的正交归一性 的归一化条件 例如 一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全 集(也是守恒量完全集). 　对于一维自由粒子 由于能量本征态有简并,并不构成力学量完全集.但把空间反射 考虑进去, 力学量完全集可以选为 对于一维粒子,　动量 就构成力学量完全集与此类似,　坐标 也可以构成力学量完全集. 注意 体系的一组力学量完全集中,力学量的个数 并不一定等于自由度的数目.一般说来,力学量完全集 中力学量的个数≥体系的自由度数目. 用一