4周期信号付里叶级数.pptVIP

第四章 连续周期信号的付里叶级数 4.1 引言 4.2 连续周期信号在三角函数集上展开 4.3 连续周期信号付里叶展开举例 4.4 有限项付里叶级数与均方误差 4.5 小结 4.1 引言 法国数学家付里叶《热的分析理论》（ 1822年），提出并证明周期函数可以展开成正弦级数 泊松、高斯等人将这一成果运用到电学中 付里叶分析属于频域分析，其研究与应用已经经历了一百多年 频域分析较之时域分析有许多突出的优点 为适应计算机应用，发明快速付里叶变换（FFT） 4.2 连续周期信号在三角函数集上展开 1、物理意义 付里叶级数是将信号在正交三角函数集上进行分解（投影） 类比：材料（如钢材）性能表征，可以采用硬度，韧性等指标系列衡量。如果将指标系列类比为一个正交集，则指标上值的大小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影 分解的目的是为了更好地分析事物的特征 正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该元素的系数表征包含该成分的多少 由上例，f(t) 可由f1(t)， f2(t)， f3(t)经过线性叠加得到 f1(t)， f2(t)， f3(t)可以看做基本信号 线性叠加后得到的f(t)包含1份f1(t)，2份f2(t)，3份f3(t)，分解有助于分析f (t)的性质 2、三角函数集 基本函数的选择问题，选择正交的三角函数集 3、连续周期信号的付里叶展开（三角函数形式） 系数求解问题，利用上一章介绍的正交函数集理论 根据正交函数集理论 4、连续周期信号的傅里叶展开(一般形式) 5、周期信号的付里叶展开（指数形式） 4.3 连续周期信号付里叶展开举例 周期性脉冲：脉宽为?，周期为T1 4.4 有限项付里叶级数与均方误差 以周期性方波为例： 由上例，当采用有限项付里叶级数逼近原信号时，存在均方误差 该误差随采用项数的增加而减小，表现为线性叠加后的信号与原信号越相似 当项数无穷大时，线性叠加信号可以无限逼近原信号（均方误差趋向于0） 4.5 小结 周期信号傅里叶展开的正交函数集的选择 周期信号傅里叶展开的三种形式：三角函数形式、一般形式、指数形式，三种形式之间系数的关系 有限项付里叶级数的叠存在均方误差，该误差随项数的增加而减小，并趋向于0 周期信号傅里叶展开的物理意义：从各余弦项的系数大小可以判断该信号包含多少高频或低频信号 * * 付里叶分析广泛应用于电子、通信、控制、计算机、力学、光学、量子物理和各种线性系统分析领域 举例： W0=10Hz 联想：是不是任何信号均可以由一系列基本信号经过线性叠加得到呢？ 是的 … … t f(t) ? T1 E a序列 c序列 ?序列 F序列 … … f(t) t E/2 -E/2 T1 T1/2 F1(t) F2(t) F3(t) 红线为方波，蓝线为有限项逼近曲线 对周期为的信号，角频率为；定义一个正交三角函数集为： 即： 函数的定义区间为：，一般取。 可以用正交函数集的定义验证其正交性。 于是，合并同次谐波分量后有： 或者： 上述两式即为一般形式的傅里叶级数 由付里叶展开： 根据欧拉公式： ， 令，， 有： 及 因为： 类似的有： 将的表示形式统一起来： ， 指数形式展开与其他形式展开系数方面关系： ； ， 具体实现需要解决两个问题： 如何选择基本信号（函数）序列， 如何求解对应的系数， 对任一周期信号有： 由上一节： 而： 其中：， 一般可将写成 ， 采用三种逼近方式： 只用1项 采用两项 采用3项 对周期为的信号，角频率为；定义一个正交三角函数集为： 即： 函数的定义区间为：，一般取。 可以用正交函数集的定义验证其正交性。 于是可以表示成： 其中，被称为直流分量 被称为 次谐波分量 最终展开的结果是： 同理： 其中：， 各类级数的系数间存在的关系如下： ， 在一般形式的傅里叶展开式中，最常用的是余弦形式， 序列又被称为幅度谱 序列又被称为相位谱 幅度谱和相位谱构成信号的频谱 代入上式有：