7.2电子自旋算符及自旋函数.pptVIP

§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数 由 的对易关系可得 的本征值 常数算符 及 的本征值分别为 算符间还存在反对易关系 * 电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可 能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但它和 其他力学量有根本的差别：一般力学量都可表示为坐标和动 量的函数，自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电 子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量。 一、自旋算符 自旋角动量满足的对易关系是： 由于 在空间任意方向上的投影只能取两个数值 ， 所以 和 三个算符的本征值都是 ，它们的平方 就都是 ： 所以， 令 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 比较，可知s与角量子数 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2. 二、泡利算符 为简便起见，引进一个算符 ，它和 的关系是 将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到 所满足的对易关系： （7.2-8） （7.2-9） （7.2-11） （7.2-10） （7.2-12） （7.2-13） 因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为： 由于 SZ 只取 ±?/2 两个值， 所以上式可写为两个分量： 含自旋的状态波函数 （7.2-14） 写成列矩阵 规定列矩阵 第一行对应于Sz = ?/2， 第二行对应于Sz = -?/2。 若已知电子处于Sz = ?/2或Sz = -?/2的自旋态，则波函数可分别写为： （7.2-15） （7.2-16） （7.2-17） （1） SZ的矩阵形式 电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵。 因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 ?/2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 ?/2，即有： 矩阵形式 自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （7.2-18） （7.2-19） 同理对Φ–1/2 处理，有 最后得 SZ 的矩阵形式 （7.2-20） （7.2-21） （7.2-22） Pauli算符的矩阵形式 根据定义 求 Pauli 算符的 其他两个分量 令 利用反对易关系 σX 简化为： 令c = exp[iα] α为实，则 由力学量算符厄密性 得：b = c* (或c = b*) 求σy 的矩阵形式 这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0,于是得到 Pauli算符的矩阵形式为： （7.2-24） （7.2-23） 波函数 自旋波函数 （7.2-25） 求：自旋波函数χ(Sz) SZ 的本征方程 令 因为 Sz 是 2 ×2 矩阵，所以在 S2, Sz 为对角矩阵的表象内，χ1/2, χ-1/2 都应是 2×1 的列矩阵。 代入本征方程得： 由归一化条件确定a1 所以 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交 （7.2-26） （7.2-27） 引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象表示为2×2矩阵 力学量平均值 算符 G 在任意态Φ中对自旋求平均的平均值 （7.2-28） （7.2-29） 算符 G 在 Φ 态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是： （7.2-30） *