7.6可以对角化矩阵PPT.pptVIP

* * 　　设σ是数域F上 维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式(1) 　 7.6.1 什么是可对角化 则称σ可以对角化. 类似地,设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在 F上一个n阶逆矩阵T，使得 具有对角形式 （1）,则称矩阵A可以对角化. 7.6 可以对角化的矩阵 　 　　我们知道, 可以通过矩阵来研究线性变换, 也可 以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性 变换来研究矩阵. 易证, σ可以对角化的充分必要条件是σ有 n 个线性无关的本征向量构成V的基. 问题:在什么条件下σ有 n个线性无关的本征向量? 7.6.2 本征向量的线性关系 定理7.6.1 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果 分别是σ的属于互不相同的本征值 的本征向量，那么 线性无关. 证 我们对n用数学归纳法来证明这个定理 　　当n = 1时，定理成立. 因为本征向量不等于零.设n 1, 并且假设对于n－1来说定理是成立的. 现设 是σ的两两不同的本征值， 是属于本征值 的本征向量： 如果等式 成立，那么以 乘（3）的两端得 另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有 （5）式减（4）式得 根据归纳法假设， 线性无关，所以 但 两两不同，所以 代入（3），因为 所以 这就证明了  线性无关.□ 推论7.6.1 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换， 是σ的互不相同的本征值. 又设  是属于本征值 的线性无关的本征向量,  那么向量 线性无关. 证 先注意这样一个事实：σ的属于同一本征值λ的本征向量的非零线性组合仍是σ的属于λ的一个本征向量. 由上面所说的事实，如果某一 ，则 是σ的属于本征值 的本征向量. 因为 互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有  即 令 则 现在设存在 F中的数 使得 然而 线性无关，所以 即 线性无关.□ 7.6.3 可对角化的判定 推论7.6.2 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使σ就关于这个基的矩阵是对角形式. 证 这时σ的特征多项式 在F [x]内可以分解为线性因式的乘积 ： 且两两不同. 对于每一个 选取一个本征向量 由定理7.6.1, 线性无关，因而构成V的一个基, σ关于这个基的矩阵是 平行地即用矩阵的说法: 推论7.6.3 令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T， 使 注意：推论7.6.3的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件. 下面将给出一个n 阶矩阵对角化的充分必要条件. 定义：设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，λ是σ的一个本征值，令 　　则有 因而是V的一个子空间. 这个子空间叫做σ的属于本征值λ的本征子空间. 现在令V是数域F上一个n维向量空间，而σ是V的一个线性变换，设λ是σ的一个本征值，　是σ的属于本征值λ的本征子空间， 这里 是一个s阶的单位矩阵. 因此，A的特征多项式是 取　 的一个基  由7.4，σ关于这个基的矩阵有形如 ,并且将它扩充为V的基， 由此可见，λ至少是 的一个s重根. 如果线性变换σ的本征值λ是σ的特征多项式 的一个r 重根，那么就说，λ的重数是r . 设λ是σ的一个r 重本征值，而σ的属于本征值λ的本征子空