北京工业大学线性代数第6章第4节二次型及其矩阵表示.pptVIP

第六章 二次型 第四节 二次型及其矩阵表示 第五节 标准型 第七节 正定二次型 * 第八节 正交替换化二次型为标准形 在第五章第四节的开头，我们指出，二次曲 面 S 在直角坐标系 I中的方程是 为了判断S是什么样的曲面，应作直角坐标变换 ① 其中 T 是正交矩阵, 使得在新的直角坐标系中，①左端的二次项部分 ② ④ 变成 ③ 于是可判断S是什么样的二次曲面。 ③式的每一项都是2次，称它为x,y,z的二 二次型。上述问题表明，需要研究二次型在象 ②式那样的变量替换下，变成只含平方项 的二次型。本章就来对一般的二次型研究这样 其中TTAT是对角阵，从而④式只含平方项， 的问题。 第四节 二次型及其矩阵表示 一. 二次型的概念 二. 二次型的矩阵表示 三.可逆线性替换与二次型 四.矩阵的合同 观察如下多项式： 共同点：多项式中每一项都是二次的。 我们把这样的多项式称为二次型。 一．二次型的概念 n 个变量x1, x2, ?, xn 的二次齐次多项式 (其中所有系数aij 是数域P 中的数), 称为数域P上的一个n 元二次型，简称为二次型. 定义： ⑴ ⑴ 若系数aij 是复数，则称 f (x1, x2, ?, xn ) 为复二次型. ⑵ 若系数aij 是实数，则称 f (x1, x2, ?, xn ) 为实二次型. 如： 是三元复二次型． 说明: 是二元实二次型． 不是二次型． ⑴式也可以写成 令 二.二次型的矩阵形表示 称⑵式为二次型的矩阵形式． 则二次型可以写成： ⑵ 也称为对称矩阵A的二次型 . 对称矩阵A 的秩 称为二次型 f (x1, x2, ?, xn ) 的秩. 关系，称A为二次型 f (x1, x2, ?, xn ) 的矩阵, f A为对称矩阵, 且与二次型 f 有一一对应 说明: 注: 二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是 平方项的系数, 系数的一半。 如 则 例1： 写出二次型 的矩阵. 解： 二次型的矩阵为 例2： 设实对称阵 求A 对应的二次型. 解：因为A 是3阶方阵，所以二次型有3个变量， 三．可逆线性替换与二次型 的线性替换为 ⑴ 定义: 设 则 即 ⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换. (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. * * *