医学高数3〔极限的运算〕.pptVIP

第四节 极限的运算 一、无穷小量的运算 二、极限运算法则 三、两个重要极限 一、无穷小量的运算 （一）无穷小 定义1-10 在自变量的某中变化过程中，若函数 y=f (x)的极限为零，则称函数 f (x)为该变化过程中的 无情小量，简称为无穷小(infinitesimal)。 定义1-11 如果对于任意给定的正数 ?（不论它多么 小），总存在正数 ?（或正数 X ），使得对于适合不 等式 0 ?x-x0? ?（或 ?x ? X ）的一切 x ，对应的函 数值 f (x)都满足不等式 ? f (x) ? ? 则称函数 f (x) 是当 x?x0（或 x?∞）时的无穷小， 记为 （或 ） 也可记为 f (x) ?0（ x?x0）（或 f (x)?0（x?∞）） 例如∵ ∴当 n?∞时， 是无穷小； ∵ ∴当 x?0 时，函数 f (x)= x 为无穷小； ∵ ∴当x?∞时，函数 为无穷小。 注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分子 一）混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化 过程中函数值趋近于 0 的函数，一般说来，它是一个 变量。数 0 是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它 的极限就是它本身。 定理1-1 的充要条件是 f (x)=A+?，其 中A为常数, ? 是当 x?x0 时的无穷小。 证明 充分性：因为 ，故对于任意给定 的正数 ? ，存在正数 ? ，当0 ?x-x0? ? 时，恒有 ? f (x) - A ? ? 令?= f (x) - A ，则 ??? ?，即 ? 是当 x?x0 时的无穷 小，且 f (x)=A+? 必要性：由于f (x)=A+? ，其中A是常数，? 是x?x0 时的无穷小，于是 ? f (x) - A ? = ??? 此时 ? 是 x?x0 时的无穷小，则对于任意给定的正数? ，存在正数 ? ，当 0 ?x-x0? ? 时，恒有 ??? ? 成立， 即 ? f (x) - A ? ? 从而 （二）无穷大 如果当 x?x0（或x?∞）时，对应的函数值 f (x)的 绝对值 ? f (x)? 无限增大，即可以大于事先给定的无论 多么大的正数 M ，就说函数当 x?x0（或x?∞）时为 无穷大量，简称为无穷大。 定义1-12 如果对于任意给定的正数 M（不论它多么 大），总存在 正数 ?（或正数 X ），使得对于适合不 等式 0 ?x-x0? ?（或 ?x ? X ）的一切 x ，对应的函 数值 f (x) 总满足不等式 ? f (x)? M 则称函数 f (x) 当 x?x0（或x?∞）时为无穷大 (infinity)。 当 x?x0（或 x?∞）时为无穷大的函数 f (x) ，按极 限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述， 也借用极限符号，记为 （或 ） 例如：当 时，正切函数 tanx 的绝对值 ? tanx ? 无限增大。记为 如果 ，则称直线 x=x0 为曲线 y = f (x) 的一条铅直渐近线。 注意：无穷大不是数，不可与很大的数（如一千 万，一亿万）混为一谈。 如果在无穷大定义中，对于 x0 附近的 x（或 ?x ? 相 当大的 x ），对应的函数值 f (x) 都是正的（或都是负 的），则称它为正无穷大（或负无穷大）， 记为 （或 ） 或者 （