2015.4.16等差与等比求和(综合)选编.ppt

* 例1 求数列的前n项的和Sn： (1). 1×4，2×5，3×6，…，n(n+3)，… 解: (1)∵an=n(n+3)=n2+3n ∴Sn=(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n) 分组求和法 常用的公式有： 例1 求数列前n项的和Sn： (2) 例1 求数列前n项的和Sn： （3）1，（1+3），（1+3+32），…， （1+3+32+…+3n-1）… 解：数列的通项an=1+3+…+3n-1= 例2、求数列 的前n项和 变式：求数列 的前n项和 错位相减法适用于等差数列{an}(an≠0)与等比数列{bn}的对应项乘积而得到{an·bn}的求积问题. 练习1、求和 当a=1时，所求的和为 当a≠1时，所求的和为 练习2：求和 例3、 求此数列前n项的和Sn： 裂项相消法 变式2:求此数列前n项的和Sn： 常见的裂项有: 合项求和法 例4 已知等比数列{an}的首项为2，并且满足 an+1-2an=0 1）求数列{an}的通项公式； 2）若bn=anlog an, Sn=b1+b2+…+bn,是否 存在正整数n，使Sn+n· 2n+130成立，若存在，求出n的取值范围;若不存在请说明理由。 例2：求和 (其中 x ≠ 0 , x ≠ 1, y ≠1 ) 思考:若去掉y ≠1这一条件呢? 练习: 5.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和. 能力·思维·方法 解题分析:利用错位相减法求和,并注意对a的讨论. 解:若a=0, 则Sn=0 若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠0且a≠1, 则Sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 +nan ∴ aSn = a2+2a3+3a4+………+(n-1)an +nan+1 ∴ (1-a)Sn=a+a2+a3+…+an –nan+1 a=0时 ,也成立 例3： 求数列：1 , 2x , 3x2 , … ，nxn-1 ,… （x≠0) 的前n项和 解： 当 x = 1 时 Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) 2 当 x ≠1 时 Sn = 1 + 2 x+ 3x2 + … + nxn-1 x Sn = x+ 2x2 + … + (n-1)xn-1 + nxn 错项相减 ( 1 – x ) Sn = 1 + x + x2 + … + xn-1 - nxn = 1 - xn 1 - x - nxn ∴ Sn = 1 - xn (1 - x)2 - nxn 1 - x = ( 1 – x )2 1 – ( 1 + n ) xn + xn+1 综上所述： 当 x = 1 时 Sn = n(n+1) 2 当 x ≠1 时 Sn = ( 1 – x )2 1 – ( 1 + n ) xn + xn+1 要点·疑点·考点 求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法： 1.倒序相加法:如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项 之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的 两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法 称为倒序相加法. 2.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与 一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法. 3.分组转化法:把数列的每一项分成两项，或把数列的项 “集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其 转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一 项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互 抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求 和方法称为裂项相消法. ①倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③分拆法求和， 如an=2n+3n ④裂项相消法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n 四、一般数列求和法 练习：1.求下列各数列的前n项和 (1) (2) 2. 求 的值 例2 求数列 的前n项和 分析： 该数列可看作等差数列