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垂直条件在解析几何中的应用举例 四川省今年起实施新课程改革，新课标下数学教学的内容与原来有巨大的变化，但解析几何部分大都保留下来，是文理学生都必修必选的学习内容。那么，接几中传统的解题技巧仍然值得我们很好的借鉴。平行与垂直是解几与立几中重要的位置关系，特别是垂直条件与解几的应用非常广泛，传统考试既是重点又是难点。下面，笔者就这部分内容谈谈自己的一点体会。 与三角形知识的综合，合理使用勾股定理 若双曲线的两个焦点为，且=10，P为双曲线上一点，，，求此双曲线的方程。 分析：构成直角三角形，利用勾股定理，可解。 解：， 令 =2t,由题意： 4 t== =又2c==10, c=5 故所求双曲线的方程为。 注：此类题目要注重挖掘三角形的隐含条件，如勾股定理等。 二．与向量知识的综合，注重数形结合 例2.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于和Q，且，若，求椭圆的方程。 分析：椭圆的方程可设为，利用条件联立方程可求解。 解：椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，故椭圆的方程可设为，由直线的方程，得，代入椭圆的方程消去得 （*）令 ，则+= = +1）（+1）=又，+==0=2（1）又==（2）由（1）（2）联立解得椭圆的方程为。 注：（1）本题在设椭圆的方程的时候用了待定系数法并避开了分类讨论。 （2）本题在联立直线与椭圆的方程时，用到了验证的方法，也可由0，得的关系式，再验证。 （3）方程（2）的得出用到方程（1）的结论。 （4）结果也可写成方程的标准形式。 （5）注意垂直条件的隐含给出，如:等 三．与坐标轴垂直，注意对称点的应用 例3.已知A、B是抛物线上任意两点，BC轴交抛物线与C点，AC交 轴于E，BA的延长线交轴于D，求证：O（坐标原点）为DE的中点。 分析：本题的解题关键是直线的垂直以及抛物线的对称性的应用。 解：令A（）BBC轴，B、C关于x轴对称， 由A、B两点的坐标得直线AB的方程为令y=0得故D由A、C两点的坐标得AC的方程为令故E故Ｏ为ＤＥ的中点。 注：圆锥曲线都是轴对称图形，椭圆、双曲线还是中心对称图形。 四．与圆的知识综合，注意弦长公式的应用 例4.已知定点A（-2,0） B（2,0）,曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2 求曲线E的方程。 延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值。 若直线L的方程，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在 某一位置，使得PQ的中点R在L上的射影C满足PCQC，求的取值范围。 分析：本题的第一问利用双曲线的定义可直接求解，第二问只不过是通径最短的证明，有一定的难度，第三问很难上手，方法不对，就会导致复杂的计算，尝试P、C、Q三点共圆，可求解。 解：由|PA|-|PB|=2，得曲线E是以A、B为焦点的双曲线的右支，，令双曲线的方程为： A（-2,0） B（2,0），=2 又|PA|-|PB|=2=2=1而故曲线E的方程为： （2）PB与双曲线的右支交于P、Q两点，故PQ不与轴垂直，令PQ的方程为与联立，消去，整理得，（*） 由 ， 得 令 ，则 |PQ|= 当且仅当时，|PQ|=8-2=6 若PCQC，则C在以R为圆心、|PQ|为直径为圆上又 ， 只需 当且仅当时 综上，的取值范围是（-。 注：（1）本题第一、二问均用到常数分离法求函数的值域。 （2）第二问也可以先求的范围，再用，求出的范围。 （3） 五．与直线的方程综合，巧用斜率的关系 例5.两条垂直的直线与抛物线相交于A、B、O三点，（O为原点）求弦AB的中点M的轨迹方程。 分析：本题方法较多，利用OAOB，巧用参数尤其简便。 解：由题意OA、OB均有斜率，可设OA的方程为，则OB的方程为，分别于联立，可得A令M，则 即① 即②由①②联立，消去得， 注：本题也可用相关点法求解。 六．与定比分点综合，注意中点的应用 例6.已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且，椭圆上不同两点，，满足条件：成等差数列。 求该椭圆的方程。 求弦AC中点的横坐标。 设弦AC的垂直平分线的方程为，求的取值范围。 分析：第一问用待定系数法易求，第二问B的横坐标即AC中点的横坐标，第三问需巧用第二问的结论。 解：令椭圆的方程为=，=5，又=4, ，该椭圆的方程为 （2）设AC的中点，成等差数列， =4 （3）由（2）ＡＣ中点Ｐ（４，）易得，则ＡＣ的中垂线方程为　整理得，　令 又 注：本题中第三问用到了椭圆中的相关定值。 　　总之，解决好垂直条件与圆锥曲线的相关综合题，既需要我们掌握扎实的基础知识，又必须具备冷静的思考能力，还要有较强的计算能力。