解三角形应用举例》 教案.docx

个性化教案 PAGE29 / NUMPAGES29 第八节　解三角形应用举例适用学科数学适用年级高一适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点长度、高度问题 方向、角度问题 方案设计问题教学目标　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.教学重点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题的能力教学难点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题的能力 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．  考点2 实际应用中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°： (2)南偏西n°： 坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝eq \f(h,l)＝tan α 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比  三、例题精析 【例题1】 【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距eq \r(3) km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离． 【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°， ∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq \r(3). 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝eq \f(\r(3) sin 75°,sin 60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)×cos 75°＝3＋2＋eq \r(3)－eq \r(3)＝5，所以AB＝eq \r(5) km， 所以A，B两目标之间的距离为eq \r(5) km.  【例题2】 【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高． 【解析】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°.过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°. 在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30°，∠DBC＝135°， 由正弦定理，得eq \f(CD,sin∠DBC)＝eq \f(BD,sin∠BCD)， 则BD＝eq \f(40sin 30°,sin 135°)＝20eq \r(2). ∠BDE＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt△BED中， BE＝DB sin 15°＝20eq \r(2)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq \r(3)－1)． 在Rt△ABE中，∠AEB＝30°， 则AB＝BEtan 30°＝eq \f(10,3)(3－eq \r(3))． 故塔高为eq \f(10,3)(3－eq \r(3)) m.  【例题3】 【题干】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq \r(3) t海里，BD＝10 t海里， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)·2·cos 120°＝6.解得BC＝eq \r(6). 又∵eq \f(BC,s