数值代数第2章第2节.pptVIP

一般情况：系数矩阵和右端项均发生变化。 矩阵逆的一些性质 推论2.2.1-求逆运算是连续的 定理2.2.2--非奇异矩阵A到一个奇异矩阵的距离 * §2.2 线性方程组的敏度分析 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ 例 线性方程组的解受到右端项变化的影响 §2 Error Analysis for . 精确解为 例： A?1 = 解： ? 测试病态程度： 给　一个扰动 ，其相对误差为 此时精确解为 2.0102 200% 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ ? 设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 常用条件数有： κ (A)1 κ (A)? κ (A)2 线性方程组的系数矩阵A的条件数“大”， 则称线性方程组的求解问题为病态的 “大”到什么程度，称为为病态的？ 范数选取的不同，条件数变化是否非常大？ §2 Error Analysis for . 条件数的性质： A可逆，则 κ (A)p ? 1； A可逆，? ? R 则 κ (? A) = κ (A) ； A正交，则 κ (A)2=1； A可逆，R正交， 则 κ (RA)2 = κ (AR)2 = κ (A)2 。 若 A 对称，则 对于对称矩阵A，矩阵的特征值分布越密集，矩阵条件数越小。 A正交，则 系数矩阵A正交，解Ax=b，易！ 系数矩阵A正交，求其特征值，难！ §2 Error Analysis for . 对一般线性方程组Ax=b， 行列式的小意味什么？ 矩阵A的特征值对方程组是否有指导意义？ 条件数有时是非常悲观的 ? 让我们再看一眼： A mathematician about his colleague: He made a lot of mistakes, but he made them in a good direction. I tried to copy this, but I found out that it is very difficult to make good mistakes. §3 Jacobi Gauss-Seidel Iterative Methods §2 Error Analysis for . 例：Hilbert 阵 cond (H2)? = 27 cond (H3)? ? 748 cond (H6)? = 2.9 ? 106 cond (Hn)?? ? as n ? ? 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元（？下一节介绍）；