数值代数第2章第1节.pptVIP

范数的一个应用---讨论向量序列的收敛性 何谓向量序列？ 如何定义向量序列收敛比较合理？ 矩阵范数的性质 任意两个矩阵范数都是等价的（表达式） 何谓矩阵序列的敛散性？ 矩阵序列收敛的充要条件 矩阵范数与向量范数相容性 举例说明算子矩阵范数的优点 算子范数的最优性 矩阵的F-范数与向量的2-范数的关系。 （P72 习题4） 一种特殊的矩阵幂级数 * 第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析 求解 第一章讨论如何解线性方程组。 计算量，直接法的诱惑力 如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？ 推荐选用这种方法的原因是什么？ 实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的，此时这些数值方法求处的数值解精度如何？ §2.1 向量和矩阵范数 /* Norms of Vectors and Matrices */ —— 为了误差的度量 ? 向量范数 /* vector norms */ 定义 　　　Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： （正定性 /* positive definite */ ) 对任意 (齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ ) 范数是一个n元连续函数（证明一下） p n i p i p x x / 1 1 | | || || = ? = v 函数 是一种范数吗？ 常用向量范数： ? = = n i i x x 1 1 | | || || v ? = = n i i x x 1 2 2 | | || || v p n i p i p x x / 1 1 | | || || = ? = v | | max || || 1 i n i x x ? ? ? = v 证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式 Cauchy-Schwartz不等式 Holder不等式 2-范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变 §1 Norms of Vectors and Matrices – Vector Norms 定义 　　　向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 ? i ? n 都有 。 可以理解为 定理 Rn 上一切范数都等价。 可以理解为对任何向量范数都成立。 范数等价定义 §1 Norms of Vectors and Matrices – Matrix Norms ? 矩阵范数 /* matrix norms */ 定义 　　　Rm?n空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： （正定性 /* positive definite */ ) 对任意 (齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ ) (4)* || AB || ? || A || · || B || （相容 /* consistent */ 当 m = n 时) In general, if we have || AB ||? ? || A ||? · || B ||? , then the 3 norms are said to be consistent. Oh haven’t I had enough of new concepts? What do I need the consistency for? When you have to analyze the error bound of AB – imagine you doing it without a consistent matrix norm… §1 Norms of Vectors and Matrices – Matrix Norms 常用矩阵范数： Frobenius 范数 — 向量|| · ||2的直接推广 如何证明上述定义的非负函数是一个范数？ （验证方法） 问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系 §1 Norms of Vectors and Matrices – Matrix Norms F-范数相容性： Frobenius 范数 — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 以及 有 利用Cauchy 不等式 可证。 §1 Norms of Vectors and Matrices – Matrix Norms 算