机械振动第4章连续系统2—1.pptVIP

第4章 连续系统 4. 5 梁的横向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出 设长度为L 的细长梁（梁的长度与截面高度比大于10）上受y方向的均布载荷f (x, t) ，梁的弯曲刚度与单位长度质量分别为E I (x) 和m (x) 。 取梁的微段dx，作隔离体受力分析图 根据牛顿第二定律，任一瞬时作用在梁微段上的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系 根据梁微段的力矩平衡，有如下关系 当梁的截面尺寸与长度相比较小时，根据材料力学，梁的弯矩与变形的关系为 忽略dx的二次项： 代入上述力平衡方程，得 第4章 连续系统 4. 5 梁的横向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出 把弯矩M与位移y 的关系代入方程，得 梁的横向振动在0至L的区间应满足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含对位置的四阶导数），在边界应满足一定的边界条件。 常见的边界条件有： 固支 铰支 自由 第4章 连续系统 振 动 理 论 及 其 应 用 4.1 引言 4.2 弦振动 4.3 杆的纵向振动 4.4 杆的扭转振动 4.5 梁的横向振动 4.6 薄板的横向振动 4.7 展开定理 4.8 瑞利商 4.9 响应分析 4.10 有限元法简介 第4章 连续系统 4. 1 引言 力学模型的组成 连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。 连续系统与离散系统的关系 连续系统 离散系统 简化、离散化 自由度n 趋向于无穷 连续系统与离散系统的区别 连续系统 离散系统 自由度 连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。 描述系统的变量 有限个 无穷多个 时间 时间和空间位置 微分方程 二阶常微分方程组 偏微分方程组 方程消去时间变量后 代数方程组 微分方程的边值问题 第4章 连续系统 4.2 弦振动 振动微分方程 由离散系统方程导出 将连续的弦作离散系统考虑，即由无质量的弦联接n个离散的质量m i 。每个质量上所受的力为F i 质量m i的受力分析如图。 对质量m i在y方向的受力和加速度运用牛顿第二定律： 或 由于弦两端固定，因此有 设 或 第4章 连续系统 4.2 弦振动 振动微分方程 由离散系统方程导出 或 或两边除以D xi 当质量数无穷多时，D xi趋近于零，方程可写成 其中， 由于用x替换了变量xi ，因此对时间的全导数转换成偏导数，而增量比用对x的偏导数表示。 第4章 连续系统 4.2 弦振动 振动微分方程 从连续系统直接导出 设长度为L 、两端固定的弦上受均布载荷f (x, t) ，弦上x处的张力与单位长度质量密度分别为T (x)和r (x)。 根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上y 方向的力与微弦段的加速度有如下关系 质量为r A dx的微段dx，隔离体受力分析图 展开、消去相关的项、略去dx的二次项，然后两边除以dx 得 或 第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题 方程 边界条件 用分离变量法，设： 代入方程： 两边同除以Y (x) r (x) F (t) 上述方程两边分别依赖于变量x 和 t ，因此两边都等于常数。设常数为- w 2： 第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题 从关于时间的方程 从关于位置x 的方程可以确定位移的形状Y (x) ，它必须在区间0xL 满足方程及边界条件Y (0) =Y (L) = 0。 解得 F (t) 上式为包含未知常数w 2的二阶常微分齐次方程，非平凡解Y (x)存在，且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。 从方程可以看出，如果 Y (x)是偏微分方程的解，那么a Y (x) （ a是任意常数）也是方程的解。 这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程的未知常数w i 和对应的函数Y i (x) 。与离散系统对应， w i 2称为特征值（即系统的固有圆频率平方），而Y i (x)称为特征函数（ 主振型）。 第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题 同样地，与离散系统对应，若特征函数Y i (x) 经正则化处理，则它们关于质量密度和张力正交： 对初始扰动的响应 与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集Y i (x) （i = 1, 2, …）的线性组合，可以表示连续系统在初始扰动下的响应。 代入方程，两边左乘Y i