物体物理第五章晶体中的电子状态5.3—2.pptVIP

能量算符和平移算符具有共同的本征函数 平移算符彼此对易 平移算符和能量算符对易 周期势场模型下的晶体中，电子波函数为： 周期势场中的电子的运动状态： ∴平移算符的本征值是波矢k的周期函数:k=2π/a 平移算符的本征值及其物理意义 ——原胞之间电子波函数位相的变化 （2） 平移算符本征值量子数 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同 （1） 简约波矢改变一个倒格子矢量 平移算符的本征值 （3） 近似条件：周期势场随位置的变化很小，引起的电子势能比动能小，这种情况下采取“准自由电子”近似法，用微扰来处理。 5.3准自由电子近似法 1. 零级近似 零级近似的波动方程： 一. 一维情形（非简并态） 零级近似 微扰 零级近似的解为恒定场V中的自由粒子的解，即本征函数和本征值： L=Na，N为原胞数 k为本征值的量子数 零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似 满足归一化条件： 2、微扰计算 根据微扰理论： 本征值的一级修正： 本征值的二级修正： 波函数一级修正： ’ 求解矩阵元 因为V(x)晶格的周期性，所以对整个晶格的积分可以化为对每个原胞积分的和。 第n个原胞： ∴ =0 按原胞划分: 对不同元胞n引入积分变数 (1) 对应周期场V（x）的傅立叶展开得到的第n个系数 (2) 一维倒格矢 一级修正得到的电子函数表现出了具有类似于布洛赫函数的形式：由自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数 考虑微扰后的波函数(k-k’=n2π/a) 当x变化a的整数倍的时候，波函数的值不变 受微扰市场的影响，波函数 中掺入了满足 的所有零级近似下的波函数 ，掺 入量的大小由k和k’对应的能量之差决定，能量差越小，掺入的量越大，即k和k’的能级越近，两个波函数越互相影响。 即：此时矩阵元存在，且k和k’的能量不相等。 考虑微扰后的能量（k-k’=n2π/a）： 但是，当 利用非简并态的微扰理论得到的能量二级修正在nπ/a附近发散，此时应采用简并微扰。 由于修正项一般较小，所以色散关系接近抛物线形式 对称的分布在布里渊区边界 总结上述， 在非简并情况下，利用一般微扰论得到，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出： 若要两个表达式有意义，级数应该收敛，那么： 说明： （1）|Vn|=|k,|ΔV|k|要小，即微扰矩阵元要小； （2）|Ek–Ek,|要大，即能级间距要宽。 3.简并微扰计算 （ k=nπ/a ， k’=-nπ/a ） 将能量简并的各状态线性组合构成新波函数作为零级近似Ψ0，代入波动方程(k和k’)： 满足本征方程： 假设 是简并的，那么属于 的本征值为 的本征函数为n个归一化的本征函数: 其中取： Ｏ 带入波动方程： 分别乘以 和 并积分，得到下式： a，b有解的条件是： 讨论： (设 ) 离 较远 (1) 将能量 按 展开： Ｏ 只考虑了在微扰中简并态之间的相互影响 使原来能量较高的 态能量提高，原来能量较低的 态能量降低。但修正项较小，所以能量改变不明显，能量曲线接近抛物线。 (2) 即 接近 时 当 时 将 按 展开： (2)不能取两者之间的值。 其能量不连续间隔为： (1)电子的能量在布里渊 区界 从 跳变 到 。 当k＝nπ/a，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，产生突变，使准连续的能级分裂成一系列的带，即能带。 4.布里渊区、能带和能隙 b.在准自由电子模型中，由于周期势场的微扰作用，波函数具有布洛赫函数的形式，能量有所修正： a.在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢呈抛物线型 ，而波函数则是平面波形式。 当k不在nπ/a附近，能量修正较小； 当k在nπ/a附近，能量修正值较大； c.各能带之间的间隔为“带隙”或“能隙”或“禁带”，能隙大小为2┃Vn┃，在能隙中不存在能级，每个带大小为一个倒格子原胞长度即2π/a，包含等于晶体原胞数目N的状态。 d.每一个能量连续区域称为布里渊区。当N很大的时候，k取值密集，可以看成能量准连续。 V(x)变化越剧烈，Vn越大，能隙越宽。 带3 带2 扩展布里渊区 带1 第一布里渊区 带1 第二布里渊区 第三布里渊区 带2 带3 简单验证： 每一个能带所占的k空间为一个布