电磁场和电磁波〔第1讲〕.pptVIP

1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1、直角坐标系 2、圆柱面坐标系 1.3 标量场的梯度 * 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量的代数表示： 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 矢量用坐标分量表示 z x y 分别是直角坐标x、y、z的单位矢量 （1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 交换律 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） ——矢量的标积符合交换律 q 矢量 与 的夹角 （4）矢量的矢积（叉积） q sin AB q 矢量 与 的叉积 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 若 ，则 若 ，则 （5）矢量的混合运算 —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 点 P(x0,y0,z0) 0 y y = （平面） o x y z 0 x x = （平面） 0 z z = （平面） P 直角坐标系 x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 3、球面坐标系 球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场 静态标量场和矢量场可分别表示为： 标量场的等值面 标量场的等值线(面) 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 等值面方程： 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 等值面的特点： 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 2. 方向导数 意义：方向性导数表示场沿空间某方向的变化率。 概念： —— u(M)沿 方向增加； —— u(M)沿 方向减小； —— u(M)沿 方向无变化。 M0 M 方向导数的概念 特点：方向性导数既与点M0有关，也与 方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ —— 的方向余弦。 式中： 梯度的表达式： 圆柱面坐标系 球面坐标系 直角面坐标系 3、标量场的梯度（ 或 ） 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念： ，其中 取得最大值的方向 普遍定义，与坐标无关！ 直角坐标系中梯度的表示式 利用方向导数的计算公式 由上式可见，当 与 方向一致时，方向导数值最大，为 。 的方向就是取得最大方向导数的方向。于是有 为方便，引入哈密顿算符‘ ’ 于是，梯度可以表示为 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。 标量场