离散数学-耿素云〔第5版〕9.1.pptVIP

* 代数系统简介 * 第9章 代数系统简介 9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 几个典型的代数系统 * 9.1 二元运算及其性质 二元运算及一元运算的定义 二元运算的性质 交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元 * 二元运算的定义及其实例 定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. ? (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai ， °为 S 上二 元运算. * 二元运算的实例（续） (5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即   矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, ?. (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算°. * n元运算 定义 设 S 为集合，n为正整数，函数 称为 S 上的 n 元运算，简称为 n元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*和实数集 R*的一元运算: ?倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: ?求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~? (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，A?SS: 求反函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵 * 运算的表示 算符：°, ?, · , ?, ? 等符号 表示 n 元运算 °(a1, a2, …, an)=b. 对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x°y = z； 对一元运算 °, x 的运算结果记作 °x 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符 * 公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算 ?： ?x, y∈R, x ? y = x. 那么 3 ? 4 = 3 0.5 ? (-3) = 0.5 二元与一元运算的表示 * 运算表的形式 ° a1 a2 … an °ai a1 a2 . . . an a1°a1 a1°a2 … a1°an a2°a1 a2°a2 … a2°an . . . . . . . . . an°a1 an°a2 … an°an a1 a2 . . . an °a1 °a2 . . . °an 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） * 运算表的实例 例4 A = P({a, b}), ?, ～分别为对称差和绝对补运算 （{a,b}为全集） ? 的运算表 ～ 的运算表 ? ? {a} {b} {a,b} X ～X ? {a} {b} {a,b} ? {a} {b} {a,b} {a} ? {a.b} {b} {b} {a,b} ? {a} {a,b} {b} {a} ? ? {a} {b} {a,b} {a,b} {a} {b} ? * 运算表的实例（续） 例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, ?, ? 分别为模 5 加法与乘法 ? 的运算表 ? 的运算表 ? 0 1 2 3 4 ? 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1