第7章1—3节迭代方程求根与加速.pptVIP

第5章 非线性方程求根 §1 方程求根与二分法 2 二分法 §2 迭代法及其收敛性 2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 3 局部收敛性与收敛阶 §3 迭代收敛的加速方法 2 斯蒂芬森迭代法 例5 取 ， 对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表. 从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件. 注意 . 迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 . 定义2 则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地, 时称线性收敛; 设迭代过程 收敛于方程 的根 ， 如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式 时称超线性收敛; 时称平方收敛. 定理4 对于迭代过程 ，如果 在所 求根 的邻近连续，并且 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的. 证明 由于 ，据定理3立即可以断定迭代 过程 具有局部收敛性. 再将 在根 处做泰勒展开，利用定理的条件， 则有 注意到 ， 因此对迭代误差， 当 时有 这表明迭代过程 确实为 阶收敛. 由上式得 上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取. 如果当 时 ，则该迭代过程只可能线性收敛. 在例4中，迭代法（3）的 ，故它只是线性 收敛. 而迭代法（4）的 ， 由定理4知 该迭代过程为2阶收敛. 而 1 埃特金加速收敛方法 设 是根 的某个近似值， 由微分中值定理，有 其中 介于 与 之间. 假定 改变不大，近似地取某个近似值 ， 用迭代公式校正一次得 则有 由于 将它与上式联立，消去未知的 ， 由此推知 在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近 似，记作 . 若将校正值 再校正一次，又得 有 一般情形是由 计算 ， 称为埃特金（Aitken）加速方法. 可以证明 它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快. 记 埃特金方法不管原序列 是怎样产生的，对 进 行加速计算，得到序列 . 如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到 如下的迭代法： 称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法. 1 引言 （1.1） 本章主要讨论单变量非线性方程 的求根问题，这里 一类特殊的问题是多项式方程 （1.2） 的求根问题，其中系数 为实数. 方程 的根 ，又称为函数 的零点， 它使 . 若 可分解为 其中 为正整数，且 当 时，称 为单根. 若 称 为 重根，或 为 的 重零点. 若 是 的 重零点，且 充分光滑， 则 例1 解 根据有根区间定义，对 的根进行有哪些信誉好的足球投注网站计算， 先给出根 的一个范围. 若 且 可知 在 内至少有一个实根， 这时称 为 根据连续函数性质 求方程 的有根 区间. 结果如下： 方程 的有根区间. 通常可通过逐次有哪些信誉好的足球投注网站法求得方程 的有根区间. 由此可知方程的有根区间为 如果同号，说明所求的根 在 的右侧, 考察有根区间 ，取中点 将它分为 两半， 假设中点 不是 的零点，然后进行根的有哪些信誉好的足球投注网站. 检查 与 是否同号， 否则 必在 的左侧， 这时令 见图7-1. 这时令 图5-1 用中点