第六章常微分方程数值解法简介—2011—04.pptVIP

微分方程在科学和工程技术中有很广泛的应用。许多实际问题的数学模型都可以用微分方程来描述，归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解，但是求出所需的解绝非易事。实际上，除了极特殊情形外，人们不可能求出微分方程的解析解，只能用各种近似方法得到满足一定精度的近似解。 在常微分方程中已经熟悉了级数解法和Picard逐步逼近法，这些方法可以给出解的近似表达式，称为近似解析方法。另一类方法只给出解在一些离散点上的值，称为数值方法。数值方法应用范围更广，特别适合用计算机计算，本章主要介绍常用的常微分方程数值解法。 §1 实际问题的微分方程模型  函数是事物的内部联系在数量方面的反映,如何寻找变量之间的函数关系,在实际应用中具有重要意义.在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系,但是有时却容易找出变量的改变量之间的关系，从而建立描述问题的微分方程模型. 解： 为了解决这一问题，需要了解有关热力学的一些基本规律.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在介质温度的差值成正比。 设物体在 时刻的温度为 ，从 ，温度从 ，注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而 ，所以温度差 恒正，又因物体将随时间而逐渐冷却，则温度的改变量为 两边除以 ，并令 得温度变化速度为 其中 是比例常数.从而得出描述物体冷却过程的微分方程模型为 容易求出这个一阶微分方程初值问题的解为 根据问题所给的条件知 ,当时， ，得到 将 ， 代入，得 从而得到这碗汤的温度随时间变化的函数关系为 于是，将 代入计算得到再过20 min汤的温度 ，这说明再过20 min后这碗汤能喝了. 不过，并不是所有的微分方程模型都可求出解析解。例如，看似简单的微分方程 ，自德国数学家Wilhelmvon Leibniz提出100多年后才被法国数学家Joseph Liouville证明它没有解析解，只能借助于数值的方法求数值解. 例7.2 某地区发现一种有免疫性的传染病，为了控制疫情扩散对该地人 群进行隔离处理.为了分析受感染人数的变化规律，需要建立描述传染 病传播过程的数学模型. 解 设该地区的总人数为常数，任意时刻病人、健康人和病人治愈后 移出感染系统的移出者的比例分别为 ，病人的日接触率 ， 日治愈率 ，则容易得出从 时刻，病人和健康人的改变量为  式（7.1.4）就是描述病人和健康人的比例 和 随时间变化的微分方程模型，这是一个微分方程组的初值问题.但是，这一初值问题的解析解是无法求出的，因此不能直接利用 和 的解析式来分析和解决问题。  §2 简单的数值方法与基本概念  设 在区域 上连续，求 满足  其中 是已知常数,这就是一阶常微分方程的初值问题. 为使问题（7.2.1）的解存在、唯一且连续依赖初值 ，即初值问题（7.2.1）适定，还必须对右端项 加以适当限制，通常要求 关于 是已知函数,且满足Lipschitz条件，即存在常数L，使 对所有 及 成立。  本章总假定满足条件（7.2.2）。 1. Euler方法的导出与几何意义 最简单的数值解法是Euler法。 将区间 作N等分，小区间的长度 称为步长，点列 称为节点， 。 由已知初值 ，可算出 在 的导数  。 下面用3种方法导出Euler法.本章用 表示函数 在 点