线性代数第2章知识要点.pptVIP

知 识 要 点 一、内容提要 1. 矩阵的概念 (1) 矩阵的定义 定义 1 由 m×n 个数 aij ( i = 1, ··· , m; j = 1, ··· , n)排成 m 行 n 列的数表 叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 m×n 矩阵. 这 m×n 个 数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列 元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)m×n 或 A = (aij) , m×n 矩阵 A 也记作 Am×n . (2) 方阵、列矩阵、行矩阵 对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵. (3) 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i = 1, ··· , m; j = 1, ··· , n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B. (4) 零矩阵、单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O. 主对角线上的元素都是 1 , 其他元素都是 0 的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位矩阵, 简记作 E 或 I. 2. 矩阵的运算 (1) 矩阵运算的定义 设 A = (aij)s×n , B = (bij)t×m 为两个矩阵, 当 s = t, n = m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为 A + B = (aij + bij), A + B 称为 A 与 B 的和. 当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)s×m , 其中 ( i = 1,2, ··· , s ; j = 1, 2, ··· , m), AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij), 则称 kA 为 A 与数 k 的乘积. (2) 矩阵的运算性质 (i) 矩阵的加法满足 交换律: A + B = B + A, 结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) 矩阵的乘法满足结合律 (AB)C = A(BC). (iii) 矩阵的乘法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC， (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足 ( k + l)A = kA +lA， k(A + B) = kA + kB， k(lA) = (kl)A， k(AB) = (kA)B = A(kB). (3) 方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = A·A, ··· , Ak+1 = Ak ·A, 其中 k 为正整数. (4) 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做 方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA. 3. 一些特殊的矩阵 (1) 设 A 为 m×n 矩阵,把它的行换成同序号 的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A?或 AT . 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有 (AT)T = A , (A + B)T = AT + BT , (?A)T = ? AT , (AB)T = BTAT .