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第四节　一般二次方程的化简 与二次曲面的分类 North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 　；在直角坐标系下，二次曲面的一般方程为 ． (8.6) 于是，通过正交变换 因是对称阵，正交矩阵，使得令，，其中则方程(8.6)可写成，其中，(8.7)变成1. 当时，． (8.7) ． (8.7) ． (8.8) 记，则(8.8)可写成 ． (8.9) 因为的特征值，不可能全部为0，否则方程退化为平面方程．． (8.9) 将(8.9)配方， 其中． 作平移变换， 于是曲面方程化为 (8.10) ． (8.10) (1) 若，且都与异号则(8.10)椭球面 (2) 若，且都与同号，则(8.10)虚椭球面 (3) 若，且中有两个与异号，则(8.10)单叶双曲面 ． (8.10) (4) 若，且中有一个与异号，则(8.10)双叶双曲面 (5) 若，则(8.10)变为 当不全同号时，它椭圆锥面 当同号时，它退化为一点 2. 当，时， ． (8.9) 将(8.9)配方， 其中． (1) 当时，作平移变换 于是曲面方程化为 (8.11) ． (8.11) 若同号，则(8.11)椭圆抛物面 若异号，则(8.11)双曲抛物面 (2) 当时，作平移变换 ， 于是曲面方程化为 (8.12) (8.12)表示柱面 3. 当时， ． (8.9) 将(8.9)配方， 其中． ， (1) 当不全为0时，通过坐标变换 曲面方程变为，其中 再平移 曲面方程化为 ． (8.13) (8.13)表示抛物面 ， (2) 当时，方程变为 ． (8.14) 若与异号，则(8.14)一对平行面 若与同号，则(8.14)一对虚平行面 若，则(8.14)一对重合平面 例 化简二次方程， (8.15) 并判断它什么曲面 解 令 ，， (8.15)可写作． (8.16) 矩阵的特征值，其对应的特征向量，，． 取正交矩阵，． ． (8.16) 作正交变换，其中 则(8.16)变为 ， 即 ． 对上式进行配方，．　　 (8.17) ．　　 (8.17) 作可逆线性变换 则(8.17)变为 ． 故原二次方程椭圆抛物面 本节完．