线性代数第5章特征值特征向量.pptVIP

第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量 第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量(续1) 第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量(续2) 第五章 特征值、特征向量 §2.矩阵可对角化的条件 第五章 特征值、特征向量 §2.矩阵可对角化的条件(续1) 第五章 特征值、特征向量 §3.实对称矩阵的对角化 第五章 特征值、特征向量 §3.实对称矩阵的对角化(续1) * * 定义1.设A为n阶方阵，λ为数, X为n维非零列向量.若满足： 则称λ 为A的特征值，X为A的属于 λ 的特征向量 . 如何求A的特征值和特征向量？ 若齐次方程（2）有非零解X， 则系数行列式| λ E-A | （1） （1） （2） =0 叫做A的特征多项式. 求特征值、特征向量方法： 1.求| λ E-A|=0的根： 2.求 的非零解X=ξ 即为A的特征值 即为A的特征向量. 例 定理1：设λ1, λ2,…, λn为n阶方阵A的特征值，则 定义2. 若对n阶方阵A、B, 存在可逆阵P,使得 P-1AP=B. 则称A与B相似.记作A~B. 1） 反身性：A~A； 2）对称性：若 A~B,则B~A； 3）传递性：若 A~B, B~C,则A~C. 性质： 即A有特征值: λ1, λ2,…, λn 定理2：相似矩阵特征多项式相同. 证：设P-1AP=B.则 如,当 则 定理3.n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量. P-1AP= ∴p1,p2,...,pn线性无关. 则 AP=PΛ ① 证：必要性.设存在可逆阵P,使 设P=[p1 p2 ...pn] ,∵|P|≠0, 由①式得：Api= λipi,i=1,2,...,n AP=A[p1 p2...pn]=[Ap1 Ap2...Apn] ∴p1,p2,...,pn为A的n个 线性无关特征向量. 充分性. 设A有n个线 性无关的特征向量： p1,p2,...,pn，则有 i=1,2,...,n 令P=[p1 p2 ...pn] 则AP=[Ap1 Ap2...Apn] 即A与对角阵相似. PΛ=[λ1p1 λ2p2 ... λnpn] Api= λipi =[λ1p1 λ2p2 ... λnpn] =PΛ ∴ P-1AP=Λ 定理4.n阶方阵A属于不同特征值的特征向量线性无关. (反之未必) 也线性无关. 推论：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似. 则A的以下t1+t2+...+tm个特征向量： 属于λi有ti个线性无关的特征向量： i=1,2,...,m. 定理5.设λ1, λ2,…, λm为n阶方阵A的互不相同的特征值. 推论：设λ1, λ2,…, λm为n阶方阵A的互不相同的特征值. 属于λi恰有si个线性无关的特征向量， 证:n阶方阵A有s1+s2+...+sm=n个线性无关的特征向量.故得证. 则A与对角阵相似. si重特征值 设A为n阶实对称矩阵：A=[aij]n×n,aij∈R，AT=A. 则A的特征值、特征向量有以下性质： (3)设λ为A的k重特征值，则R(λE-A)=n-k,从而 (1)A的特征值全为实数. 齐次方程(λE-A)X=0的基础解系有k个线性无关的解向量， (2)A的属于不同特征值的特征向量正交. 将其正交标准化,可得属于λ的k个两两正交的单位特征向量. 证:设λ1, λ2,…, λm为n阶实对称矩阵A的互不相同特征值. 定理6.设A为实对称阵,则存在正交阵Q,使得Q-1AQ为对角阵. 它们全为实数. s1+s2+...+sm=n， ∴A有n个两两正交的单位特征向量:q1,q2,...,qn， Q=[q1 q2...qn]为正交阵,且Q-1AQ= 属于λi有si个两两正交的单位特征向量,i=1,2,…,m