线性代数课件—ch—5—2相似矩阵与矩阵的对角化.pptVIP

第二节 相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵的概念及性质 North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证明 证明 若 阶方阵 则称矩阵 可对角化． , 是不是所有的方阵都可以对角化呢？ 其实并非所有的方阵都可对角化. 如 不可以对角化 二、矩阵的对角化 即矩阵的对角化问题： 因此，有必要讨论一个 阶方阵 能与一个对角阵相似的问题， 满足什么条件时 设方阵 可对角化， 则存在可逆阵 和对角阵 使得 从而 设矩阵 的列向量组为 显然 线性无关. 下面推导可对角化条件 即 故 即 即 即方阵 个线性无关的特征向量 有 可对角化, 可对角化, 即方阵 个线性无关的特征向量 有 故 即 即 可对角化, 故 即 即 若方阵 个线性无关的特征向量 有 可对角化, 若方阵 个线性无关的特征向量 有 可对角化, 因此得到如下定理： 定理4 阶方阵 可对角化 有 个线性无关的特 征向量 注意 上述讨论给出了 可对角化时，相似变换矩阵 和对角阵 的形式. 其中 使得 定理1 相似矩阵的行列式相等．相似矩阵的性质定义 设有阶方阵和，若存在阶可逆矩阵，使，则称相似于，或与相似，(2) 　；记作． 例1 设阶方阵有特征值，，求．解 因，例2 设，，试证明．证 因，存在可逆矩阵，使，可逆矩阵称为相似变换矩阵． 容易验证，相似概念具有下列三条性质：(1) 自反性 ；(2) 对称性 若，则；(3) 传递性 若，，则．定理2 相似矩阵的特征多项式相同．定理2 相似矩阵的特征多项式相同．证 设， 则存在可逆矩阵，使， 所以 证毕． ． 从而． 定理1 相似矩阵的行列式相等．证 设， 则存在可逆矩阵，使， 所以 ．证毕． 推论1　相似矩阵有相同的特征值．推论2　若阶方阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．推论3　若，则．证毕．则 所以．证毕． 定理4 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量． 证 先证必要性． 相似， 从而 ， ． 再证充分性． 对应的特征值分别为， 即 ． 令， 则矩阵为可逆矩阵，且 ， 即可对角化． 证毕．推论 若阶矩阵有个不同的特征值，则可对角化．定理5阶矩阵可对角化的充分必要条件是对于的每一个重特征值，．证明略．例3 设 ， 问能否对角化？解 先求的特征值．由 ， 得的全部特征值为． 将代入齐次线性方程组，得 它的基础解系为； 将代入齐次线性方程组，得 它的基础解系为． 由于为二重特征值，而相应齐次方程组的基础解系中仅含一个解向量， 故不能对角化． 例4　已知 ， 问能否对角化？若能对角化，求出相似变换矩阵．可得将代入齐次线性方程组，得 它的基础解系为； 它的基础解系为； 它的基础解系为，． ，； ，，． 取相似变换矩阵 则 ．， ．本节完． 此即是的特征值，分别是对应于特征值的特征向量．又是可逆矩阵，设有个线性无关的特征向量，．因此是的个线性无关的特征向量． 设为阶阵判断一个阶方阵能否对角化，一般的步骤：第一步　求出的所有不同特征值； 第四步　若可以对角化，则令 ，和对角矩阵 ．其中，特征值 对应的特征向量是 . 第二步　对每个不同特征值，求齐次线性方程组的一个基础解系第三步　将所有的基础解系中的向量放到一起，若向量个数为个则 。