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3 纳什均衡应用举例 我们举几个经济学上的例子来说明纳什均衡在经济学上的应用。注意，这些例子中的战略都是连续变量。 3-1 库诺特(Cournot)寡头竞争模型 库诺特寡头竞争模型可以说是纳什均衡最早的版本，它比纳什(1959)本人的定义早了l00多年。在库诺特模型里，有两个参与人，分别称为企业1和企业2；每个企业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的 函数． 我们用 代表第i个企业的产量， 代表成本函数， 代表逆需求函数(P是价格；Q(P)是原需求函数)。第i个企业的利润函数为： , i=1,2 是纳什均衡产量意味着: 找纳什均衡,就是求函数极大值问题：对利润函数求导,并令其等于零： 以上两个方程都是两企业产量的函数，即反映出两企业产量间的关系——称做反应函数。 反应函数意味着每个企业的最优战略（产量）是另一个企业产量的函数。 反应函数的坐标图右图 两曲线的交叉点NE就是 纳什均衡 进一步简化： 假定每个企业具有相同 的不变单位成本，即： 需求函数取线性形式： 最优化的一阶条件为： 反应函数为： 就是说一个企业每增加一个单位的产量，另一个企业将减少1/2单位的产量。 故： （一）每个企业的纳什均衡利润分别为： （二）计算垄断企业的最优产量和均衡利润 1、利润函数： 2、最优产量： 3、垄断利润： 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一企业的外部负效应。这是典型的囚徒困境。 为什么在奇瑞、吉利、长城以及比亚迪等中国自主车出现后，国外品牌的汽车价格下降很多。如以前一辆捷达就要20多万，现在性能车型差不多的长城腾翼C30，奇瑞A3等就7~9万，而一旦中国的SUV，如长城的哈弗被市场认可后，外国品牌的的SUV就不断降价？经常看到的本田CR-V，要20万，自主品牌在安全性还要好的情况下，也就14万左右。说明了有了竞争之后，价格下降，产量上升。 3-2 豪泰林价格竞争模型 伯川德（Bertrand,1883）悖论：即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企业的利润为零，与完全竞争市场一样。 解开这一悖论的办法之一是引如差异性。如果不同企业的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是其感兴趣的唯一变量。 豪泰林模型：产品在物质性能上是无差异的，但在空间位置上有差异。 如图1.3-2,两商店分别在0点、1点，消费者平均地分布在线上，并每人消费一个单位的产品，旅行成本以单位距离成本 t 计。令 为商店的的价格， 为需求函数。求最优价格与均衡利润。 解：设x点的消费者在两个店消费是无差异的，则需求分别为： 满足条件： 解上式得需求函数为： 利润函数分别为： 利润最大化条件： 故： 分析：旅行成本的上升，产品间的替代性下降，竞争减弱，消费者对价格的敏感性下降，从而最优价格更接近于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一家可以把价格定的高于成本，这就得到伯川德均衡结果。 事实上，均衡结果对于商店的位置是很敏感的： 1、假设两商店位于同一位置x，则得伯川德均衡： 2、假设商店位于任何位置，且旅行成本为二次式： 则价格平衡点x满足下列条件： 见下页——进一步拓展 3-3 进一步扩展 两商店的位置关系如图1.3-3。 需求函数分别为： 纳什均衡为： 当a=b=0时，商店1位于0，商店2位于1 这就回到了第一种情况： 当a=1-b时，两商店位于同一位置，这就走到了另一个极端： 3-4 更为一般的情况 产品的差别体现在多方面，如品牌、质量、包装等。其需求函数可写为： 假设每个企业有不变的成本，其利润函数为： 价格组合 是纳什均衡价格，必须满足： 由此得到两企业的最优反映函数： 由此得均衡产量： 纳什均衡利润为： 3-5 公共问题 公共问题如牧场、海洋、大气、煤、石油等，他们都存