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21 2.3 控制系统的复数域数学模型2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。 求例2-1 RLC无源网络的传递函数 传递函数 具体定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a/b是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为： 于是，由定义得系统传递函数为： 在例1-1中，设当 输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出 解： 根据例1得到的微分方程。 2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响 为传递函数的零点 为传递函数的极点 K*=b0/a0 为传递系数或根轨迹增益 极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。 零点（O）距极点（X）的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。 单位角位移，输出电压(v/rad) E -电位器电源(v) －电位器最大工作角(rad) 2.3.5典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 2.4.1 结构图 结构图也称方块图或方框图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。构成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。 2.4.2系统方框图的构成 对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统方框图。 图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为 零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得 * * 第3讲 传递函数及其性质 典型元部件的传递函数 例2-8 解： RLC网络的微分方程 零初始条件下，对上述方程作拉氏变换 传递函数 零初始条件含义： 1）输入量：t≥0时才作用于系统，t=0-时，输入量及其各阶导数均为零。 2）输出量：输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0-时的值为零。 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 传递函数的特点 : 1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。 2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统中输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。 3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。 5.传递函数可表示成 式中p1，p2……pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、… zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点； 6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为 而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。 传递函数的性质 如果将 置换 传递函数与微分方程之间有关系。 性质1 性质2 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。 传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有 例2-6 2.3.4典型元部件的传递函数