北京师范大学 数学模型与数学建模2 6).pdf

§3.3 平衡原理 与机理模型 §3.3 平衡原理与机理模型 一. 平衡原理 自然界任何物质在其运动 变化过程中一定受到某种平衡关 系的支配。 二. 机理模型 在一定的假设下，根据主 要因素相互作用的机理，对它们 之间的平衡关系的数学描述。 关于假设 是对实际问题的抽象、化简和规范 是组建数学模型的基础和前提。 假设较强，模型简单易分析和操作 但与实际差距大。 假设较弱，模型比较接近实际。 但模型复杂不易操作。 关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建模 的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了模 型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。 平衡原理与机理模型 三. 模型举例 例1. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的 过程。 即考虑由于人口的生育和死亡所引起的 人群数量变化的过程。 令N(t)表示t时刻的人口数。 假设1. 人群个体同质。 N(t) 连续可微. 假设2. 群体规模大。 平衡关系：人口数在区间[t，t+t] 内的改变量等于这段时间内出生的 个体数与死亡的个体数之差。 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死 亡对人口的影响。 平衡原理与机理模型 令B(t, Δt, N), D(t, Δt, N) 分别表示生 育数和死亡数, 则有 N (t t ) N (t ) B (t , t , N ) D(t , t , N ) +Δ − Δ − Δ 假设4. 从大群体的平均效应考虑生育 和死亡对人口的影响（生育率和死亡 率） 生育率 b(t, Δt,N)=B(t, Δt N)/N 死亡率 d(t, Δt,N)=D(t Δt,N)/N 则有 N t ( t )N t ( )R t (t, N,N ) +Δ − Δ 平衡原理与机理模型 由于R(t, Δt,N)|t=0=0，将R(t, Δt,N) 关于 Δt展 开 dR R(tΔ, t=Δ+t,oN=Δ) t( r) t N( ,Δt)+o Δt( ) d t Δ =Δ t 0 令 Δt→0 取极限可得 dN ( , ) r t N N dt 假设5. 群体增长恒定. 则r(t, N) = r( N) dN r N( N) dt 假设6. 个体增长独立. 则r( N) = r. dN rN dt 给定初值 N(0)=N ，可得 0 N t N e( ) rt 0 在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有