传热学基础(第二版)第五章教学课件导热问题的数值解法精选.ppt

第五章 导热问题的数值解法 5-1 稳态导热有限差分方程 5-2 非稳态导热有限差分方程 5-3 边界条件 5－1 稳态导热有限差分方程 分析解可以确定物体中任意点的温度，而数值计算只能确定一些离散的点上的温度。为了进行数值计算，首先必须选取这些离散点。以一个二维稳态导热问题为例。 5-2 非稳态导热有限差分方程 作为入门的引导，本节以一维非稳态问题为例，导出非稳态导热有限差分方程。一维非稳态无内热源的导热微分方程式 * * 1/25 分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程式在规定的边界和初始条件下积分求解。这种解法称为分析解。 导热问题数值解概述 2/25 近百年来，文献中积累了一批不同条件下导热问题的分析解。然而，对于许多实用场合，几何条件或边界条件的复杂性排除了分析解的可能性。另外，有一些问题虽然可以求得分析解，但是由于分析解中包括一些复杂级数而不易获得数字结果。 3/25 数值计算方法 — 有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法。数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化。 数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element） 4/25 在数值解法之中，应用最为广泛的是建立在有限差分法基础上的数值解法。有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。 近年来，电子计算机的普及和提高，有效地推动了数值解法的发展。由于高速计算机的普及，许多过去认为不能求解的导热问题获得了数值解，开辟了求解各种复杂导热问题的广阔道路。 5/25 6/25 参看图a， 离散化是通过将一个二维物体分割成矩形网格实现的。在x及y方向上分割距离分别为 及 。网格交点就是所选取的离散点，称为节点。符号m、n分别用来表示节点的坐标。例如(m,n)节点的坐标是 、 。节点上的温度表示为Tm,n。其余节点仿此类推。 7/25 节点的温度实质上代表了图中灰影部分物体的平均温度。它反映了有限差分法表达上的近似。网格的分割要受到物体几何形状以及计算要求达到的精确度的约束。一般来说，网格取得越小，数值计算的结果越准。 但是这样做是要付出代价的。网格的减小要求增加计算机的信息储存和增加运算次数，延长计算时间导致计算费用的增加。其次，由于计算机运算是对有限位数数字进行的，运算次数的增加会产生积累起舍入误差的副作用。 8/25 下面来导出二维稳态导热微分方程式的有限差分近似表达式。 考察一个物体内部的任意节点(m,n)。以x方向为例，节点附近的温度分布示于图5－1b。 用节点温度表示的近似的温度变化率有： 9/25 10/25 二维稳态导热微分方程式中的二次导数 可利用以上关系近似的表达为 同理，在y方向上 11/25 将以上二次导数近似式代入二维稳态导热微分方程，就得到导热微分方程的有限差分近似表达式，亦称有限差分方程 如果取 的正方形网格，则上式简化成为 12/25 这就是任意内部节点的有限差分方程。它是一个代数方程。以上的关系表明，在导热系数为常量时热量的转移可以用温度差来表达。 上式还表明：在稳态下，流向任何节点热量的总和必须等于零。 采用数值法求解时，必须对物体中每个节点写出类似上面推导的代数方程，然后联立求解所有节点的温度值。 13/25 非稳态导热的特点是温度不仅依空间坐标变化，并且还依时间而变。 14/25 对微分方程作有限差分离散化处理必须同时把所研究的空间和时间范围各自分割成许多细小的间隔组成网格，如时－空坐标示意图5－2所示。 图中任意节点(m,i)的温度表示为Tm(i)。下角码表示空间间隔序号，上角码则表示时间间隔的序号。 15/25 对式（5－2）中的时间导数 采用向前差分格式，可表示为 由于分子中的温度差是用时间上向前一个间隔的值与考察点的当地值之差确定的，所以称为向前差分格式。在上一节里，温度的二次导数是用观察点当地向前半个间隔与向后