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二、矩阵的线性运算 连加号 2. 矩阵的乘法 解 方阵的幂 方阵的多项式 四、矩阵的转置 证明(4) 数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？ 小 结 解 =( ） 单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数“1”在数的乘法中的作用一样. 3. 矩阵乘法满足的运算规律 （其中 为数） 结合律 右分配律 左分配律 数乘结合律 (2)两个非零数的乘积不为零，即： (1)数的乘法满足交换律，即： (3)数的乘法满足消去律，即： 或 或 但是　 (2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 例 设 则 但 　(1)矩阵乘法不满足交换律，即： 也有例外，如 则有 特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。 例 设 则 (3)矩阵乘法不满足消去律 对于n元线性方程组 例 方程组的矩阵表示 令 则上述方程组可用矩阵表示为 AX = b . 系数矩阵 对于n元线性方程组 注意 4. 方阵的幂和方阵的多项式 k个A 显然： k个AB 例 设 设有多项式 f (x), g(x), A 为n阶方阵，则 f(A) g(A) = g(A) f (A). 如 再如 但是，一般的 如 多项式 f (x), g (x), A, B 为n阶方阵，则 再如 成立的充要条件是什么? 例 解 故 成立的充要条件为 1.定义（转置） (把A的行换成同序数的列得到的新矩阵) 例 2.转置矩阵的运算性质 例 已知 解 法1 法2 3. 对称矩阵与反对称矩阵 定义 设A为n阶方阵，如果满足 ，即 对称矩阵以主对角线为对称轴对应的元素相等. 说明 那末A称为对称矩阵. 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为反对称阵. 反对称阵定义 反对称矩阵主对角线元素为0； 说明 以主对角线为对称轴对应的元素互为相反数. 证明 (BTB)T 对称矩阵 反对称矩阵 不是 = BT (BT)T = BTB 证 线性代数与解析几何 《线性代数与空间解析几何》 ，高等教育出版社 参考教材 教材 准备1个练习本，课上用 《线性代数与解析几何辅导》 ，北京交大出版社 准备2个作业本(写上学号),每周二交作业 或其它形式的《线性代数辅导》等 §1.1 矩阵及其运算 一、 矩阵的概念 二、 矩阵的线性运算 三、 矩阵的乘法 四、 矩阵的转置 例 (价格数据) 四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位量 的售价可用以下数表给出 引例 线性方程组 例 增广矩阵 线性方程组 一般的 对应着两个数表 矩阵就是一个 数表. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 一、矩阵的定义 简记为 1 .定义 实矩阵 元素是实数. 复矩阵 元素是复数. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 是一个 矩阵, 2. 一些特殊的矩阵 零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 . 如 行矩阵 列矩阵 只有一行的矩阵 只有一列的矩阵 例如 是一个3 阶方阵. 行数与列数都等于 的矩阵 ， 也可记作 一般的n 阶方阵： 方阵 称为对角 矩阵(或对角阵）. 形如 的方阵, 不全为0 记作 单位矩阵 记作 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 全相等 数量矩阵 上三角矩阵 形如 的方阵. 下三角矩阵 形如 的方阵. 上三角矩阵 下三角矩阵 例 同型矩阵： A与B相等： 记为 A = B. 例如 为同型矩阵. 例 设 解 注意： 对于同型矩阵加法才有意义. 1.加法： 减法 负矩阵 矩阵加法满足的运算规律 2.数乘 例 矩阵数乘满足的运算规律 矩阵加法与数乘运算合起来, 设 为 矩阵， 为数 结合律 分配律 统称为矩阵的线性运算. 1.引例 两个工厂生产甲,乙,丙三种产品. 矩阵 表示一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵 表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵 表示各工厂的总收入和总利润. 某地有 甲 乙 丙 甲 乙 丙 单位 价格 单位 利润 总收入 总利润 三、矩阵的乘法 收入=单位价格*数量 利润=单位利润*数量 甲 乙 丙 甲 乙 丙 单位 价格 单位 利润 总收入 总利润 收入=单位价格*数量 利润=单位利润*数量 其中 例 =