自动控制原理电子版.doc

第二章 自动控制系统的数学模型 研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。控制系统的运动方程式（也叫数学模型）是根据系统的动态特性，即通过决定系统特征的物理学定律，如机械﹑电气﹑热力﹑液压﹑气动等方面的基本定律而写成的。它代表系统在运动过程中各变量之间的相互关系 ，既定性又定量地描述了整个系统的动态过程。因此，要分析和研究一个控制系统的动态特性，就必须列写该系统的运动方程式，即数学模型。 第一节 系统动态微分方程模型 常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种﹕一种是机理分析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学﹑电磁学﹑运动学﹑热学等）来编写。另一种方法是实验辩识法，即根据实验数据进行整理编写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本节着重讨论这种方法。 下面通过简单示例介绍机理分析法的一般步骤。 图2-1 网络 [例2-1] 列写图2-1所示网络的微分方程。 解 1． 明确输入、输出量 网络的输入量为电压，输出量为电压。 2．列出原始微分方程式。根据电路理论得 （2-1） 而 （2-2） 式中为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。 3．消去中间变量 将式（2-2）两边求导，得 或 （2-3） 代入式（2-1）整理为 （2-4） 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是2-1所示无源网络的数学模型。 [例2-2] 试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压（V）为输入量，电动机转速为输出量。图中、分别是电枢电路的电阻和电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。 图2-2 电枢控制直流电动机原理图 解 电枢控制直流电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，其工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。因此直流电动机的运动方程可以由以下三部分组成。 1．电枢回路电压平衡方程： （2-5） 式中（V）是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压相反，即是反电势系数。 2．电磁转矩方程： （2-6） 式中 是电动机转矩系数， 是电枢电流产生的电磁转矩。 3．电动机轴上的转矩平衡方程： （2-7） 式中是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。 由式（2-5）、式（2-6）和式（2-7）中消去中间变量、及便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程为 (2-8) 在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，因而式（2-8）可简化为 （2-9） 式中是电动机机电时间常数（s），，是电动机传递系数。 如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小而忽略不计时，式（2-9）还可进一步简化为 （2-10） 这时，电动机的转速与电枢电压成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。 图2-3 弹簧—质量—阻尼器机械位移系统 [例2-3] 图2-3所示为一具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统。试列写质量在外力作用下，位移的运动方程。 解 设质量相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为，由牛顿运动定律有 （2-11） 式中是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成正比，为阻尼系数；是弹簧弹性力，其方向亦与运动方向相反，其大小与位移成正比，为弹性系数。将和代入式（2-11）中，经整理后即得该系统的微分方程式为 （2-12） [例2-4] 试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程。 图2-4 速度控制系统 解 通过分析图2-4可知控制系统的被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速，输入量是，