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第 六 章 定 积 分 § 6.1定积分与不定积分 给定非负函数y f (x ) ，定义于闭区间[a, b] ，如果我们要求函数图形y f (x ) 下边 b 曲边梯形面积，就需要定积分 f (x )dx 。 a 给定闭区间[a, b] 内任意时刻t 的即时速度y f (t ) ，求[a, b] 内走过路程，也需要定 b 积分 f (t)dt 。 a 定义 函数f (x ) 定义在[a, b] 上，给[a, b] 任意一个分割 : a x 0 x 1 L n x b ，记l max x ，x x x ， x [x , x ] ，作和s f (x )x 。 n 1k n k k k k 1 k k 1 k k k k 1 b 如果lim s I 存在，则称I 为f (x ) 在[a, b] 上的定积分，记作I f (x )dx 。称a 为 l 0 a 积分上限，b 为积分下限，f (x ) 为被积函数，x 为积分变量 （哑变量），即 b b a f (x)dx a f (t)dt 用e d 语言表述定：e 0 ，d 0 ，使得不管如何分割 ，如何选取 x k [x k 1 , x k ] ，只要l max xk d ，就有| s I | e ，则称I 为f (x ) 在[a, b] 的定积 1k n b 分，记为I a f (x )dx 。 如果f (x ) 在[a, b] 存在定积分，称它为 Riemann 可积，简称可积，将来到实变函数论 中还有 Lebesgue 可积概念。 133 综上定义： 定积分的定义包含分割，代替，求和，取极限四个步骤。这个极限不同于 以前的极限，比较复杂，条件l d 不像以前的0 x x 0 d 或n N 那样简单，固定 l ，分割 有很多种，固定 ，x k 的选择还有很多种。 b 定积分与不定积分有密切关系，看例子：速度v (t) 在[a, b] 通过路程S a v(t)dt ；由 b 原函数定义，S (t) v(t)dt C ，则 v(t)dt S (b) S (a) ，一般地我们有 a 定理 1