北大群伦电子版 group theory_2.ppt

第二章 群表示论基础 * 1 线性代数基本知识 ■ 线性空间: 定义在数域K上的向量集合{v1, v2, v3, …}=V. 在 V中定义了加法和数乘两种运算. 设v1, v2, v3∈V, a,b,c ∈K, 向量的加法和数乘具有封闭性, 且满 足下列条件: 加法: v1+v2= v2+ v1 v1+(v2+v3)= (v1+v2)+v3 唯一的0元存在, 使v1+0= v1 对任一向量v1, 有唯一逆元 (-v1)存在, 使v1+(- v1)=0 数乘: 1v= v (ab)v=a(bv) a(v1+v2)= av1+av2 (a+b)v=av+bv 则称向量集合V为一个线性空间. 线性无关: 对于V中的 n 个向量 v1, v2, …vn?V, 如果不存在 n 个不全为零的数 a1, a2, …, an ?K ，使得 a1v1 + a2v2 + … + anvn =0 则称这n 个向量 v1, v2, …vn是线性无关的. 线性空间V中的任意一个向量 v ?V可由这n 个向量 v1, v2, … vn 生成，即 v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn 其中x1, x2, …, xn ?K. 这n 个向量 v1, v2, … vn称为线性空间V的一组基向量, 通常记为: e1, e2, … en. 线性空间V中线性无关向量的最大数目，称为V的维数。 ■ 内积空间: 定义了内积的线性空间. 内积: 设V是数域K上的一个线性空间, v1和v2是V中任意两个向量, 映射ψ将v1和v2映射为一个数, 即ψ(v1,v2)=(v1|v2)∈K, 且满足下列条件 (v1+v2| v3 )= (v1| v3 ) + (v2| v3 ) (v1|av2 )= a(v1| v2 ) (v1| v2 )= (v2| v1 )* 当v1?0时, (v1| v1 )0, 则数(v1|v2)称为向量 v1和v2 的内积. 长度：向量v的长度定义为|v|= (v1| v1 )1/2 正交：如果(v1| v2 )=0，则称向量v1和v2正交。 正交归一基：如果内积空间的一组基向量（e1,e2,…en)满足 (ei|ej)=δij ,则称为正交归一基. ■ 线性变换: 设V是定义在数域K上的一个线性空间, 线性变换A是将V映入V的线性映射, 即对于任意v1, v2∈V, a∈K, 有 A(v1)?V A(av1+v2)= aA(v1)+A(v2) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换. 如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换, 记作A－1. ■ 幺正变换: 设U是内积空间V上的线性变换, 即对于V中任意向量v1, v2∈V, U保持v1和v2的内积不变, 即 (Uv1|Uv2)=(v1|v2) 则称U是V上的幺正变换. 共轭变换: A, A?是内积空间V上的线性变换, 如果对任意 v1, v2∈V, 满足 (A v1|v2)=(v1|A?v2), 则称A, A?互为共轭变换. 幺正变换U满足 UU? = U?U=E, E为恒等变换. 在 n 维线性空间V中任取 m (m?n) 个线性无关的向量 v1, v2, …vm?V, 由这m个向量作为基向量, 可以生成一个m维线性空间V1, 称为V的一个子空间. 线性空间的子空间: 线性空间的直和: 设V1和V2是线性空间V的两个子空间, 如果V中的任意一个向量 v?V 都可以唯一地表示为V1和V2中向量之和, 即对于任意v?V, 能够找到v1?V1, v2?V2, v可唯一地表示为 v=v1+v2. 则称线性空间V是其子空间V1和V2的直和, 记作 V=V1⊕V2. 矩阵表示: 用列矩阵表示线性空间V的一组基向量, 即 ●则线性空间V中任意一个向量v可表示为一个列矩阵, 即 ●内积: 线性空间V上任意两个向量本 间的内积可定义为 ●线性空间V上任意一个线性变换A可表示为一个n维方矩阵, 即 ●内积空