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北大随机过程课件:第_2_章_第_3_讲_马尔可夫状态分析.pdf
马尔可夫链 状态分类
1 马尔可夫链中状态的分类:
1.1 到达和相通:
定义1:状态i 可到达状态j ,
如果对状态i 和j 存在某个n(n ≥1) 使得p n 0 ,即由状态i 出发,经过 n 步状
i j
态转移,以正的概率到达状态j ,则称自状态i 可到达状态j ,并记为i →j 。反之,
如状态i 不能到达状态j ,记为i+→ j ,此时对于一切n, p n 0 。
i j
定义2 :状态i 和状态j 互通,
有两个状态i 和j ,如果由状态i 可以到达状态j ,且由状态j 可以到达状态i,则称
状态i 状态j 相通,记作i ←→j
定理1:到达的传递性,
如果由状态i 可以到达状态k ,由状态k 可以到达状态j ,则由状态i 可以到达状态
j ,即到达具有传递性。
定理2 :相通具有传递性。
如果由状态i 和状态k 相通,状态k 和状态j 相通,则由状态i 和状态j 相通,即
相通具有传递性。
1.2 状态空间的分解:
定义1,状态空间的类,
如果两个状态相通,则称两个状态处于同一类中。可以按照相通的概念把状态空间
分成一些隔离的类。
状态空间分解成隔离的类,对于每个类都有相应的状态转移矩阵。
定义2 ,状态空间的闭集,
设C 为状态空间的一个子集,如果从C 中的任何一个状态i 不能到达C 以外的任
何状态,则称C 是闭集。
如果单个状态构成一个闭集,则称这个状态为吸收态。
整个状态空间必定构成一个闭集。
闭集的充分必要条件是,p i j 0, i ∈C j ∉C 。
定义3,不可约的马尔可夫链
如果除了整个状态空间以外,没有别的闭集的马尔可夫链称为不可约的,这时所有
的状态是相通的。
定理1,
在 m 步转移概率矩阵中,如果只保留闭集中各状态间的转移概率,而把其他所有
行和列的元素删去,则留下的概率矩阵满足∑p i k 1, i ∈C 。
k ∈C
1.3 状态的常返态和滑过态
定义1,
对于任意两个状态 i,j ,设 代表从状态 i 出发首次进入状态j 的最早时刻,即
T
i j
{ }。
T (ω) min n :ξ(0) i,ξ(n) j , n ≥1
i j
定义2 ,从状态i 经过n 步第一次到达状态j 的概率,
(n) { }。
f P T n /ξ(0) i
i j r i j
定义3,从状态i 迟早到达状态j 的概率,
(n) { }
f ∑f ∑P T n /ξ
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