南开 代数学基础 习题答案.pdf

Chapter 1 1.1 1. ?. 1) R , x R y , x ≥ y ; 2) R , x R y , |x | = |y |; 3) R , x R y , |x − y | ≤ 3; 4) Z, x R y , x − y; 5) Cn ×n (Cn),A R B , P ,QA = P BQ; 6) Cn ×n ,A R B ,P, QA = P BQ; 7) Cn ×n ,A R B ,P A = P −1BP . 1) . 2) . a) ∀x ∈ R, |x | = |x |. b) |x | = |y |,|y | = |x |. c) |x | = |y |, |y | = |z |,|x | = |z |. 3) . 4) .x ∈ Z, x − x = 0,x R x,R. 5) A = IAI ;A = P BQ p, Q B = P −1AQ−1 ;A = P BQ , B = P CQ ,A = 1 1 2 2 P P CQ Q ,A R C . 1 2 2 1 . 6) .A = 0, B,P = 0, Q,A = P BQ = 0,P, Q,B = P AQ.. 7) . . 2. RA ,. R.:“a, b ∈ A,a R bb R a. 1 2 a R a.R,.”? .A a a ∈ A,b ∈ A, a R b,a. 3. RA ,A R , R 1 2 x R1 y ,x = y, x R yy R x; x R y ,x , x , · · · , x 2 0 1 n x = x, x = y ,x R x , x R x , · · · , x R x . 0 n 0 1 1 1 1 2 n−1 1 n 1) R2 ; 2) R,R2 = R,x R2 y iff x R y . 3) A = Z, n.R:x R y ,x − y = n. R R . 1 2 1) R .R .R 1 2 2 R .R . 2 2 2) x R y ,x R y, x R y ,x R y , x , x , · · · , x x = 1 2 2 0 1 n x , x = yx R x , x R x , · · · , x R x , R 0 n 0 1 1 1 1 2 n−1 1