2011年赛前集训教材.PDF

2011 年賽前集訓教材 質 點 力 學 例 題 彙 編 (一) 出版者：物理奧林匹亞國家代表隊選訓工作小組 質點力學例題彙編(一) 一、根據刻卜勒行星運動定律，我們知道行星繞日運動的軌道為橢圓，以太陽的質心為 橢圓的一個焦點(參考下圖一) 。同樣的道理，人造衛星的繞地運行或登月小艇的繞 月運行，其軌道也是橢圓。當然它也有可能是圓形的軌道，圓形可視為是半長軸等 於半短軸之特殊橢圓。我們也知道在萬有引力的作用下，繞日作圓周運動的行星其 GMm 總能E − (G 為萬有引力常數，r 為軌道半徑，M 及 m 分別為太陽和行星的質 2r 量) ，此關係式在橢圓軌道的情況下仍適用，只需用半長軸a 代替取半徑 r 即可，即 GMm E − 。今有一質量為m 的登月小艇在距月球表面高度為 h 的上空繞著月球作圓形 2a 軌道運動。月球的質量為 M ，半徑為R(假設月球為球形) ，試問： 行星 B 半短軸 b r θ R 太陽 C A a h 半長軸 圖 一 圖 二 (1)登月小艇在沿著運行的方向短暫的啟動火箭引擎減速，以 Hohmann transfer 的方 式到達月球表面，求其初速變化。(以 M 、R 、h...等符號表示) 。 註：所謂 Hohmann Transfer 就是順著小艇運行的方向啟動火箭，使其減速，讓 火箭在月球的正背面降落，如圖二中所示由 A 到 C 。 (2)知 R=1700 km ，h=100 km ，月球表面的重力加速度 g=1.7 m/s2 ，求小艇的初速 變化的量值。 若此小艇以另一種方式到達月球表面，它在圖二所示的 A 點處，短暫向月心方向 加速，使小艇到達月球上之 B 點時，速度與月球表面相切。則： (3) 當小艇切過月球表面不停止，忽略任何摩擦，概略畫出其運動的完整軌道圖。 (4)求此軌道的方程式。(用極坐標以 R,h,等符號表示) 。 (提示：橢圓的極坐標方程式為 α 1=+εcos θ) r (5)求火箭引擎所提供的向月心的初速度大小。(以 g,R,h...等符號表示) 註：為了表示空間中一點的位置，除了直角座標外，亦可用極座標的方式。以二維空間為例，如 下圖所示，點 P 之坐標(x,y)可以其與原點 O 之間的距離 r 及 OP 和某一固定方向之間的夾角 θ來表示之，其與直角座標間的