换元积分法常用技巧.pdf

维普资讯 第 1a卷 6期 益 阳 师 专 学 报 U o1．No．6 1993年 1D1日 】OC,RNAL OF YIYANG TEACHERZ COLLEGE oct． I9 换元积分法常用技巧 7一／』 王锡华 ／72，2 (数 学 系 ) 摘 耍 本文对换元积分法佯了深人 的研究，对甩换元积分法解题的技巧进 亍了系统的整理。 定理．设不定积分嚣的被簇积表达达式式可喜以写成l((x)氢 (x)dx 其中f( (x))及 (x)在所考虑的区间上连 续 叉设 F(u) f(u)，璁9有 lf[ (x)] (置)dx=F [叩(x) ]+c． (1) 若令 ILl= (x)．那么 (1)式可表为 lf(u)du= ldF (u)=F (u)+c (2) 由此可见 ，上面 的定理表 明了，只要 F (u)=f(u)．不论 Ⅱ是 自变 量或者 Ⅱ是 自变量x的具有连续导数的函数 ．公式 (2)都 是正确 的 【。 该定理对计算不定积分非常有用．其主要精神在于：通过适 当选择新变量tl= (x) 使原不定积分的被积表达式化为f(u)du 而容易找到F(q)使 F(u)：f(n)， 于 是原不定积分就等于F( (x)]+c。我们将上述计算格式表示如下 5f( (x)]叩 (x)dx= jf(u)du F(u)+c=F[ (五))+c． 在有些场合下 ，选择新变量u： (x)是比较困难的，而其反函数的选择每是比较 容 易的。也就是谴 ，可以将 自变量x表示成新变量Ⅱ的一个适当的函数x= (u)。使 原 不 定积分的被积表达式f(x)dz亿为 f(x)dx=f[ (u)) (u)da=g(1,1)dH． 而且容易找到G(u)使 G(u)=g(u)，这样原不定积分就等于G(u)+c=G(叩(x))+c． 其中1．1 (x)是x= (u)的反函数。 为了从x=19(u)保证u= (x)的存在性 ，我们假定函致x：呻 (U)是单竭 的， 为了保证不定积 舟 5￡( (u)] (U)du有意义 ，除 了要求f( )连续外，还 要 求 (u 也连续 。 我们将上述计算格式表示于下： lf(x)dx= lf[ (u)]lI，(u)du： ig(u)du=G(u)4-c：G (叩(五)]+c 上两种计算方法我们都称为不定积分的换元积分法。它稚共同之处是通过新变 量的引入而使不定积分较易算出I其不同之妊是前者给出新变量用原 自变壁袭采 南匮 数 ，而后者给出原自变量用耨变镀表示的函数 。 。。 … 一 收稿 日期tl口g3—05～21 维普资讯 盎 雨 师 专 学 报 l993年 换元积分法包含很多特殊灵活的技巧．要想掌握它，除了熟悉一些典型的莉子外． 只有通过大量的练习才行。笔者从教学实践中总结出换元积分法八种常用技巧．引起了 学生的浓厚兴趣，使他们普遍提高了甩换元积赫法解题的能力，收到了强好的教学效果 。 1 变套 ’ ! 』 =j—d(x=’一3x+8) z一3x+8i=lⅡ(工一3z+8)+c