探寻赌金分配问题的历史解答.pdf

2008年第47卷第10期 数学通报45 探寻“赌金分配问题的历史解答 刘新求1 张盎2 (1湖南工程职业技术学院基础科学系湖南 长沙410151) (2湖南师范大学数学与计算机科学学院湖南 长沙410081) 我们知道，概率论起源于16世纪的“合理分 惠更斯是在他们的成就上更进一步，所以，下面我 配赌金问题!’，很多关于数学史的文献都会提到这 们把这些方法笼统地总结为算术方法、组合方法、 个问题，然而很少有文献详细地叙述了数学史上 数学期望法．首先应该指出的是这些方法都有一 解决这个问题的过程和原理方法，只是简单地提 个重要的思想：两个人分得赌金的比例应该等于 及一些人和事．应该说这是一个很有趣的问题， 从这以后继续赌下去他们获胜的概率． 很能激起数学爱好者的兴趣，也能加深学生对概 1 算术方法： 率的理解．下面我们就来较为详细地谈谈数学史 1654年7月29日，帕斯卡给费马的信中写 上这个问题的解答过程和方法． 一 道：下面给出两个赌徒分配赌金的方法，例如每人 文献[1]这样叙述合理分配赌金问题：“假如 投放32枚金币作为赌金，并以先得3分为赢．假 首先约定在一次比赛中先赢6次者为胜，两个赌 设第一人已得2分，另一人只有1分，他们掷下次 徒在一个赢5次另一个赢2次的情况下赌博因故 时，若第一人赢了，他将得到全部金币，若另一人 中断，问总赌注如何分配才合理?意大利数学家帕 赢了，他们的比分是2：2，如果在这种情况下分赌 乔利首先给出的答案是5：2，似乎很合理，但若干 金的话，每个人将拿回自己所下的赌金，即32枚 年后另一数学家卡尔达若重新研究这一问题时提 硬币． 出疑问……他认为总赌金应按照(1+2+3+4)综上所述，如果第一个人赢了，64枚金币属 ：1=10：l的比例分配才合理．卡尔达若考虑问于他，如果他输了，32个金币将属于他．如果他们 题的方式较帕乔利前进了一步，但结论仍然是错 不愿意继续玩下去而要分赌金的话，第一个人应 的，正确的结果是15：1，是应用100年以后帕斯该说：“我一定能得32枚金币，即使我下一轮输 卡与费马得出的原理推出的”． 了，也应该把他们给我，至于另外32枚硬币，也许 “……帕斯卡得到这一问题后，立即通知费 你得到他们，也许我得到他们，机会是均等的．所 马，两人从1654年7月开始，为此频繁通信，展开以在给我32枚金币以后，让我们均分另外32枚金 有关概率论和组合学方面的研究．费马利用组合 币吧．”这样他将得到48枚金币，而另一个人只能 学方法，帕斯卡利用算术方法都得到这一问题的 得到16枚金币． 正确结果．” 现在假定第一个人得2分而另一个人得0分， “……1657年，荷兰数学家惠更斯引进数学他们正在争夺下一分，如果第一个人赢了，他将得 期望的概念，证明了若p是一个人获得赌金口的 到全部64枚金币，如果另一个人赢了，注意他们 概率，q是他获得赌金b的概率，则他可以希望获 将回到前面的情况，即第一个人得2分另一个人 得的总赌金数为口p+6q．【1] 得1分，但是我们已经说明在这种情况下已有2分 那么帕斯卡的算术方法和费马的组合方法到 的人将得到48个金币，所以如果他们不愿意继续 底是怎样来解决这个问题的呢?惠更斯的数学期 赌下去，这个人应该说：“如果我赢了，我将得到全 望又有着怎样的意义?其实，费马和帕斯卡通信讨 部64枚金币，如果我输了，48枚金币将属于我，所 论这个问题，他们互相对彼此的方法都有研究，而 以请把48枚金币给我，然后再均分剩下的16枚金 万方数据 46 2008年