2–1.3.5空间向量运算的坐标表示.doc

课题 2-1.3.5空间向量运算的坐标表示 教学目的要求 1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示 主要内容与时间分配 1．投影与投影定理 25分钟 2．分向量与向量的坐标 30分钟 3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟 重点难点 1．投影定理 2．分向量 3．方向余弦的坐标表示 教学方法和手段 启发式教学法，使用电子教案 一、向量在轴上的投影 1．几个概念 (1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。 2．投影定理 性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知： i + j+k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量a的坐标表示式。 于是，起点为终点为的向量可以表示为 特别地，点对于原点O的向径 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示 设，即， 则 加法： 减法： 乘数： 或 平行：若a≠0时，向量相当于，即 也相当于向量的对应坐标成比例即 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。 图 7－6 模 方向余弦 由性质1知，当时，有 例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。 解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-} ，， ，， 设为与同向的单位向量，由于 即得