6、1.3.2球的表面积及体积.doc

1．3.2　球的表面积和体积 中国足球队唯一一次进入世界杯决赛圈是在2002年日韩世界杯上，小组赛三场皆负，一球未进，在32支球队中排名最后．在巴西世界杯亚洲区20强预选赛中，中国队于10月11日在主场痛失好局，以01不敌伊拉克队，3战1胜2负，即使在随后的三轮比赛中连胜对手，也难确保进入10强赛．不可否认，中国足球队已陷入最低谷，沦为亚洲三流球队． 问题1：根据球的形成定义来分析，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？ 提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球． 问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？ 提示：由球的定义可知，只要知道球的半径即可求出． 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 1．要求球的表面积和体积，只需求出球的半径． 2．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数． [例1]　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为π，求它的表面积． [思路点拨]　利用条件确定半径R代入相关公式可求． [精解详析]　(1)直径为6 cm，半径R＝3 cm. 表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积V球＝πR3＝36π(cm3)． (2)S球＝4πR2＝64π， R2＝16，即R＝4， V球＝πR3＝π×43＝π. (3)V球＝πR3＝π， R3＝125，R＝5. S球＝4πR2＝100π. [一点通]　已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径． 1．两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为(　　) A．19　　　　　　　　　 B．127 C．13 D．11 答案：A 2．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 解析：设火星半径为r，地球半径则为2r，＝＝8. 答案：8 3.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm. 解析：设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有 πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，即2r＝8， r＝4. 答案：4 [例2]　在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． [思路点拨]　将球与正方体联系起来． [精解详析]　PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， 以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体． 又P、A、B、C四点是球面上四点， 球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径． 2R＝a，R＝a， V＝πR3＝π(a)3＝πa3. [一点通]　(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键． (2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径． (3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题． 4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是(　　) A．8π B．4π C．12π D．16π 解析：正方体的体对角线长为2，即2R＝2， R＝，S＝4πR2＝12π. 答案：C 5．球内切于正方体的六个面，正方体的边长为a，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图， 所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2. 答案：πa2 [例3]　(12分)已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积． [思路点拨]　根据已知条件，通过解三角形列出方程式，求出球的半径． [精解详析]　如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式： r＝R2－x2且πr＝π(R2－x2)＝8π， (4分) r＝R2－(x＋1)2且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π， (6分) 于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π， 即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，2x＝2，即x＝1. (8分) 又π(R2－x2)＝8π，R2－1＝8，R2＝9，R＝3. (10分) 球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π. (12分) [一点通]　与球有关的截面问题在